Ist die folgende Körpererweiterung normal?

Erste Frage Aufrufe: 37     Aktiv: 23.02.2021 um 19:56

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Q⊂Q[X]/(X3+4X+1)
 
Komme einfach nicht weiter und habe keinen Ansatz.
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Leider sehe ich die frage erst jetzt, aber vielleicht hat das ganze ja doch noch beudeutung für dich.

Oft ist es bei der Normalitätsfrage das einfachste, ein gegenbeispiel zu finden.

Klar sollte sein, dass \(\mathbb{Q}[X]/(X^3 + 4X + 1)\) isomorph zu \(\mathbb{Q}(\zeta)\) ist wenn man \(\zeta\) als eine beliebige nullstelle von \(X^3 + 4X +1\) wählt. (wenn das nicht klar sein sollte, nochmal nachfragen)

nun ist es aber so, dass das polynom zwei komplexe und eine reelle (aber nicht rationale) nullstelle besitzt. wenn wir nun \(\zeta\) als die reelle nullstelle wählen, ist dessen minimalpolynom durch \(X^3 + 4X +1\) (wegen vorigem argument) gegeben. dieses polynom zerfällt in \(\mathbb{Q}(\zeta)\) aber offensichtlich nicht in linearfaktoren weil wir dafür ja komplexe (nicht reelle) zahlen bräuchten, die aber in \(\mathbb{Q}(\zeta)\) nicht enthalten sind.

damit kann \(\mathbb{Q}[X]/(X^3 + 4X + 1)\) wegen einsetzungsisomorphie nicht normal sein.

hoffe das hilft dir weiter

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