Unterraum ja oder nein?

Aufrufe: 315     Aktiv: 08.09.2023 um 22:38

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Hallo zusammen,
für Unterräume muss ja die Addition und die skalare Multiplikation wieder im U1 bzw. M22 liegen oder?

Wenn ich z.B die beiden Matrizen addiere lande ich ja bei:

1 1   + 2 3        = 3 4         Ist das nun ein Unterraum oder nicht? Tue mich hier mit dem a² schwer. Vll. kann ja jemand weiterhalfen.
0 1      0 2            0 3


Danke und viele Grüße vorab!
Don
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Moin,

ganz methodisch vorgehen: $U_1$ ist der Unterraum aller 2x2 Matrizen mit Einträgen in $\mathbb{Q}$, sodass der obere rechte Eintrag das Quadrat des linken oberen und rechten unteren eintrags ist, während der untere linke Eintrag 0 ist. Also nehmen wir uns zwei Elemente aus dem Unterraum (d.h. 2 solcher Matrizen) und addieren sie. Wenn das Ergebnis wieder von obiger Form ist, ist $U_1$ bzgl. Addition abgschlossen. Seien also
\begin{pmatrix}
a & a^2\\0 & a
\end{pmatrix}und 
\begin{pmatrix}
b & b^2\\0 & b
\end{pmatrix} in $U_1$. Dann ist die Summe gleich \begin{pmatrix}
a+b & a^2+b^2\\0 & a+b
\end{pmatrix}Um zu prüfen, ob diese Matrix in $U_1$ liegt, müssen  
  • Der Eintrag unten links 0 sein
  • Alle Einträge in $\mathbb{Q}$ liegen
  • Das Quadrat des unteren rechten und oberen linken Eintrags gleich dem oberen rechten Eintrag sein (d.h. $(a+b)^2=a^2+b^2$)
  • der obere linke Eintrag gleich dem unteren rechten Eintrag sein
und zwar für alle $a,b \in \mathbb{Q}$. Its das hier erfüllt? Ist $U_1$ also bzgl. der Addition abgeschlossen?

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Punkt 1 ist der Eintrag unten links.   ─   cauchy 07.09.2023 um 19:46

Danke für die Hilfe. Ich versuchs mal:

0 0 ∈ U1
0 0

Sei

1 1² + 2 2² = 3 1 + 4 entspricht ja a²+b²
0 1 0 2 0 3

1 1² + 2 2² = 3 3² entspricht ja (a+b)²
0 1 0 2 0 3

ergo (a+b)² ungleich (a²+b²)

Somit ist U1 kein Unterraum von M22 ∈Q da das Element der Vektoraddition nicht erfüllt ist. Korrekt?

Muss ich das Kriterium bzgl. der Vektoraddition (a+b)²=a²+b2 jedes Mal prüfen sofern ich im potenziellen Unterraum eine Potenz stehen habe oder auch bei einem potetiellen Unterraum ohne Potenz wie bspw: a 0
-a 0 mit a∈Q ?

Danke vorab und sorry für meine schlechte Notation. Muss mich hier auf der Plattform noch einlesen.
  ─   donkanalie 08.09.2023 um 18:19

Du musst auf jeden Fall immer prüfen, ob der Unterraum bzgl. der Addition abgeschlossen ist. In diesem konkreten Beispiel folgt daraus u.a., dass $a^2+b^2=(a+b)^2 \forall a,b\in\mathbb{Q}$ sein muss. In anderen Beispielen wird es anders aussehen.
Noch ein Tipp: Matrizen erstellt man mit \beginpmatrix und \endpmatrix (jeweils mit {} um pmatrix). Die Einträge erstellt man Reihenweise mit & und wechselt zur nächsten Zeile mit \\. Es ist also Beispielsweise
\beginpmatrix
a & b \\ c & d
\endpmatrix
wenn man die {} ergänzt
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
  ─   fix 08.09.2023 um 18:35

Danke fix für die fixe Hilfe. Nur um nochmal sicher zu gehen, U1 ist kein Unterraum weil die Addition nicht abgeschlossen ist?

VG
Don
  ─   donkanalie 08.09.2023 um 18:52

Korrekt.   ─   cauchy 08.09.2023 um 19:05

Die Nichtabgeschlossenheit weist man durch ein konkretes Gegenbeispiel nach. Einfach sagen, die Gleichung gilt nicht, reicht nicht.
@fix und andere: Wie hier math. Symbole mit LaTeX gesetzt sind, kann man einfach bei anderen abschauen: Ausdruck mit der Maus markieren, dann pull-down-menu (rechte Maustaste?) "show math as TeX-commands". Bei der Verwendung in eigenen Posts muss das ganze noch in Dollarzeichen eingeschlossen werden.
  ─   mikn 08.09.2023 um 19:35

@mikn danke für den Tipp   ─   fix 08.09.2023 um 20:14

Danke für die Hilfe. Jetzt habe ich eine grobe Ahnung wie es laufen sollte. :)
VG Don
  ─   donkanalie 08.09.2023 um 22:38

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