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Moin,
ganz methodisch vorgehen: $U_1$ ist der Unterraum aller 2x2 Matrizen mit Einträgen in $\mathbb{Q}$, sodass der obere rechte Eintrag das Quadrat des linken oberen und rechten unteren eintrags ist, während der untere linke Eintrag 0 ist. Also nehmen wir uns zwei Elemente aus dem Unterraum (d.h. 2 solcher Matrizen) und addieren sie. Wenn das Ergebnis wieder von obiger Form ist, ist $U_1$ bzgl. Addition abgschlossen. Seien also
\begin{pmatrix}
a & a^2\\0 & a
\end{pmatrix}und
\begin{pmatrix}
b & b^2\\0 & b
\end{pmatrix} in $U_1$. Dann ist die Summe gleich \begin{pmatrix}
a+b & a^2+b^2\\0 & a+b
\end{pmatrix}Um zu prüfen, ob diese Matrix in $U_1$ liegt, müssen
LG
ganz methodisch vorgehen: $U_1$ ist der Unterraum aller 2x2 Matrizen mit Einträgen in $\mathbb{Q}$, sodass der obere rechte Eintrag das Quadrat des linken oberen und rechten unteren eintrags ist, während der untere linke Eintrag 0 ist. Also nehmen wir uns zwei Elemente aus dem Unterraum (d.h. 2 solcher Matrizen) und addieren sie. Wenn das Ergebnis wieder von obiger Form ist, ist $U_1$ bzgl. Addition abgschlossen. Seien also
\begin{pmatrix}
a & a^2\\0 & a
\end{pmatrix}und
\begin{pmatrix}
b & b^2\\0 & b
\end{pmatrix} in $U_1$. Dann ist die Summe gleich \begin{pmatrix}
a+b & a^2+b^2\\0 & a+b
\end{pmatrix}Um zu prüfen, ob diese Matrix in $U_1$ liegt, müssen
- Der Eintrag unten links 0 sein
- Alle Einträge in $\mathbb{Q}$ liegen
- Das Quadrat des unteren rechten und oberen linken Eintrags gleich dem oberen rechten Eintrag sein (d.h. $(a+b)^2=a^2+b^2$)
- der obere linke Eintrag gleich dem unteren rechten Eintrag sein
LG
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fix
Student, Punkte: 3.59K
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Punkt 1 ist der Eintrag unten links.
─
cauchy
07.09.2023 um 19:46
Danke für die Hilfe. Ich versuchs mal:
0 0 ∈ U1
0 0
Sei
1 1² + 2 2² = 3 1 + 4 entspricht ja a²+b²
0 1 0 2 0 3
1 1² + 2 2² = 3 3² entspricht ja (a+b)²
0 1 0 2 0 3
ergo (a+b)² ungleich (a²+b²)
Somit ist U1 kein Unterraum von M22 ∈Q da das Element der Vektoraddition nicht erfüllt ist. Korrekt?
Muss ich das Kriterium bzgl. der Vektoraddition (a+b)²=a²+b2 jedes Mal prüfen sofern ich im potenziellen Unterraum eine Potenz stehen habe oder auch bei einem potetiellen Unterraum ohne Potenz wie bspw: a 0
-a 0 mit a∈Q ?
Danke vorab und sorry für meine schlechte Notation. Muss mich hier auf der Plattform noch einlesen. ─ donkanalie 08.09.2023 um 18:19
0 0 ∈ U1
0 0
Sei
1 1² + 2 2² = 3 1 + 4 entspricht ja a²+b²
0 1 0 2 0 3
1 1² + 2 2² = 3 3² entspricht ja (a+b)²
0 1 0 2 0 3
ergo (a+b)² ungleich (a²+b²)
Somit ist U1 kein Unterraum von M22 ∈Q da das Element der Vektoraddition nicht erfüllt ist. Korrekt?
Muss ich das Kriterium bzgl. der Vektoraddition (a+b)²=a²+b2 jedes Mal prüfen sofern ich im potenziellen Unterraum eine Potenz stehen habe oder auch bei einem potetiellen Unterraum ohne Potenz wie bspw: a 0
-a 0 mit a∈Q ?
Danke vorab und sorry für meine schlechte Notation. Muss mich hier auf der Plattform noch einlesen. ─ donkanalie 08.09.2023 um 18:19
Du musst auf jeden Fall immer prüfen, ob der Unterraum bzgl. der Addition abgeschlossen ist. In diesem konkreten Beispiel folgt daraus u.a., dass $a^2+b^2=(a+b)^2 \forall a,b\in\mathbb{Q}$ sein muss. In anderen Beispielen wird es anders aussehen.
Noch ein Tipp: Matrizen erstellt man mit \beginpmatrix und \endpmatrix (jeweils mit {} um pmatrix). Die Einträge erstellt man Reihenweise mit & und wechselt zur nächsten Zeile mit \\. Es ist also Beispielsweise
\beginpmatrix
a & b \\ c & d
\endpmatrix
wenn man die {} ergänzt
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} ─ fix 08.09.2023 um 18:35
Noch ein Tipp: Matrizen erstellt man mit \beginpmatrix und \endpmatrix (jeweils mit {} um pmatrix). Die Einträge erstellt man Reihenweise mit & und wechselt zur nächsten Zeile mit \\. Es ist also Beispielsweise
\beginpmatrix
a & b \\ c & d
\endpmatrix
wenn man die {} ergänzt
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} ─ fix 08.09.2023 um 18:35
Danke fix für die fixe Hilfe. Nur um nochmal sicher zu gehen, U1 ist kein Unterraum weil die Addition nicht abgeschlossen ist?
VG
Don ─ donkanalie 08.09.2023 um 18:52
VG
Don ─ donkanalie 08.09.2023 um 18:52
Korrekt.
─
cauchy
08.09.2023 um 19:05
Die Nichtabgeschlossenheit weist man durch ein konkretes Gegenbeispiel nach. Einfach sagen, die Gleichung gilt nicht, reicht nicht.
@fix und andere: Wie hier math. Symbole mit LaTeX gesetzt sind, kann man einfach bei anderen abschauen: Ausdruck mit der Maus markieren, dann pull-down-menu (rechte Maustaste?) "show math as TeX-commands". Bei der Verwendung in eigenen Posts muss das ganze noch in Dollarzeichen eingeschlossen werden.
─ mikn 08.09.2023 um 19:35
@fix und andere: Wie hier math. Symbole mit LaTeX gesetzt sind, kann man einfach bei anderen abschauen: Ausdruck mit der Maus markieren, dann pull-down-menu (rechte Maustaste?) "show math as TeX-commands". Bei der Verwendung in eigenen Posts muss das ganze noch in Dollarzeichen eingeschlossen werden.
─ mikn 08.09.2023 um 19:35
@mikn danke für den Tipp
─
fix
08.09.2023 um 20:14
Danke für die Hilfe. Jetzt habe ich eine grobe Ahnung wie es laufen sollte. :)
VG Don ─ donkanalie 08.09.2023 um 22:38
VG Don ─ donkanalie 08.09.2023 um 22:38