Sachaufgabe Binomialkoeffizient

Aufrufe: 123     Aktiv: 13.04.2024 um 10:59

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Hallo zusammen,

folgende Aufgabe möchte ich lösen:

"Unter 50 LED-Lampen in einem Karton befinden sich zwei defekte. Jemand entnimmt zufällig zwei Lampen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Lampen in Ordnung sind."

Hier mein Ansatz:

Zunächst muss ich den Binomialkoeffzient "50 über 2" berechnen. Jetzt weiß ich, dass es 1225 Kombinationsmöglichkeiten für zwei Lampen gibt.

Dann muss ich bestimmen, wie viele der Möglichkeiten zwei Lampen hervorbringt, die in Ordnung sind. Hier bin ich mir nicht mehr sicher. Gibt es zwei Möglichkeiten mit zwei defekten Lampen, da die Reihenfolge unterschiedlich sein kann? Jede defekte Lampe kann außerdem mit 48 heilen Lampen kombiniert werden (nicht mit sich selber und nicht mit der anderen defekten, da wir das schon hatten). Also muss ich rechnen:

(1225-2-48-48)/1225=0,92=92%

Stimmt das so? Oder muss es doch 1 statt zwei sein?

Danke im Voraus für eure Hilfe
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Die Anzahl der Möglichkeiten, genau k defekte Lampen auszuwählen, ist \(\displaystyle \binom{48}{2-k}\cdot\binom{2}{k}\).

Also gibt nur \(\displaystyle \binom{48}{0}\cdot\binom{2}{2}=1\) Möglichkeit, zwei defekte Lampen auszuwählen.
Es gibt \(\displaystyle \binom{48}{1}\cdot\binom{2}{1}=96\) Möglichkeiten, eine defekte und eine heile Lampe auszuwählen.
Also ist die gefragte Wahrscheinlichkeit \((1225-1-96)/1225\).

Es gibt \(\displaystyle \binom{48}{2}\cdot\binom{2}{2}=1128\) Möglichkeiten, zwei heile Lampen auszuwählen. Damit kommst Du etwas schneller auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1128/1225\).
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Danke dir! Das beantwortet meine Frage.   ─   mathemitmoritz 13.04.2024 um 10:59

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