Warum ist sowas die Lösung eines LGS

Erste Frage Aufrufe: 149     Aktiv: 09.11.2022 um 16:04

0


Hallo, bei einem LGS ist es doch so, dass ich Variablen habe deren Wert ich bestimmen möchte.
Hier:

habe ich 7 Unbekante, sagen wir x_1 bis x_7
Jetzt sollte ich doch als Lösung am Ende einen Wert für x1, x2, x3 bis x7 haben, statdessen sei sowas die Lösung:


Verstehe ich nicht?

Inwiefern habe ich nun den Wert von x1, x2, x3 etc.?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 22

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Hast Du noch nie unterbestimmte LGS gelöst? Das macht man normalerweise erstmal an kleineren Beispielen.
Hier ist ja auch hergeleitet, durch Anwendung des Dimensionssatzes, dass der Lösungsraum dim=4 hat, was bedeutet, dass die Lösung vier Freiheitsgrade hat. Man muss also nur 4 lin. unabh. Lösungen finden (mehr geht eben nicht), diese spannen den Lösungsraum des hom. Systems auf. Dafür gibt es auch (unendlich) viele andere Möglichkeiten als die im Beispiel genannten (auch für die eine Lösung des inhom. Systems).
Sicherlich sind vorher in der Vorlesung kleinere Beispiele dafür behandelt worden, siehe Beispiel 6.2 (andere Frage).
Die Beispiele bauen aufeinander auf und sind aus gutem Grund in dieser Reihenfolge gebracht. Es macht keinen Sinn die aufbauenden Beispiele zu überspringen und sich gleich an den schwierigeren zu versuchen (es sei denn, man suhlt sich gerne in Frust ;-)).

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 31.96K

 

Danke, ich habe mich nun mit leichteren LGS beschäftigt und habe nun ein anderes Problem.

Und zwar.

Wenn wir z. B. solch ein LGS haben:

1+0 +0| 1
0+2+0 |2
0+0+0|0

Dann wissen wir direkt, ich nenne den ersten Wert mal x, den zweiten y und den letzten z, dass x=1, y=1 gilt und z= t, wobei t € |R ist.

Also hier gibt man das Ergebnis nicht wie oben an.
Oben mach ich ja inhomogene Lösung + Lös(A,0).

Aber wenn ich wollen würde, so könnte ich doch auch dieses LGS so als Lösung angeben oder?

Woher weiß ich wann ich welchen Lösungsweg nehmen soll?
  ─   nfioew0 09.11.2022 um 13:30

Gutes Beispiel für den Einstieg. Man kann die Lösungsmenge auf versch. Weise angeben. Hauptsache, sie ist richtig. Wie würdest Du sie denn hier konkret angeben?   ─   mikn 09.11.2022 um 13:39

Ich hätte nun gedacht bei dem Beispiel:
1+0 +0| 1
0+2+0 |2
0+0+0|0
Dass die Lösung einfach wäre L={1,1,t}, wobei t€ |R, weil x3 ja nicht in Verknüpfung mit x1 und x2 steht?

Oder ich könnte es auch wie oben lösen, dafür würde ich die zweite Zeile so umformen, dass ich nun habe:

1+0 +0| 1
0+1+0 |1
0+0+0|0

Dann wäre die Lösung:

(1,1,0)+span(0,0,-1) oder?
  ─   nfioew0 09.11.2022 um 14:17

Beides inhaltlich richtig, aber achte auf korrekte Schreibweise.
Variante 1: $L=\{(1,1,t)\, |\, t\in R\}$
Variante 2 stimmt so, man nimmt aber praktischerweise den aufspannenden Vektor so einfach wie möglich, und da geht es noch einen Tick einfacher mit (1,1,0)+span(0,0,1).
  ─   mikn 09.11.2022 um 14:34

Vielen Dank!

Wenn man nun aber "nur":
1+0 | 1
0+2 |2
hätte, so kann ich direkt sagen L={(1,1)}.

Hier kann ich das nicht mit dieser anderen Schreibweise schreiben oder?
Beziehungsweise ich könnte schreiben: L={(1,1)+span(0,0)} oder?
  ─   nfioew0 09.11.2022 um 14:41

1
Ja, geht beides (letzteres ist aber unüblich).   ─   mikn 09.11.2022 um 14:50

Dürfte ich dich noch eine Sache fragen, wenn man das oberste Beispiel anschaust, so sieht man x2, x4, x5 und x7 wurden =0 gesetzt, theoretisch darf ich ja 4 Variablen beliebig aussuchen, die ich 0 setze, da die beiden 0 Zeilen ja nicht mitzählen.

Hier hat man genau die Variablen 0 gesetzt, die keine Zeilenstufe bilden. Sollte man das immer machen?
  ─   nfioew0 09.11.2022 um 15:35

Außerdem wenn ich ein LGS habe und dort steht bestimme das inhomogone Gleichungssystem und das zugehörige homogene Gleichungssystem, meint man das was oben ist?

Also da habe ich ja auch inhomogen und homogen bestimmt?
  ─   nfioew0 09.11.2022 um 15:57

1
Im Beispiel ist da was erklärt, dass man es irgendwie an den Zeilenstufen abliest. Ich verstehe aber nicht, woher jetzt diese $v_2$ usw. kommen. Vermutlich ist da in der Vorlesung eine Methode erklärt worden, aber ohne diese Erklärung kann ich da nichts zu sagen (kenne diese Methode nicht).
Ich würde von unten nach oben (beginnend mit Gl. 3) auflösen, also zuerst $x_6=t$ setzen, dann $x_7$ berechnen. Dies in Gl. 2 einsetzen und dort weiter. Ja, am Ende gibt es vier Freiheitsgrade.
Es gibt viele (unendlich!) viele Möglichkeiten die Lösungsmenge in der Form $v_{inhom}+span (u,v,w,z)$ zu schreiben. Und man sieht auch zwei Varianten nicht so direkt an, ob sie die gleiche LM beschreiben. Die oben hergeleitete ist nur eine davon.
Du meinst nicht das (in)hom LGS bestimmt, sondern jeweils deren Lösung(smenge). Ja, so ist das hier gemacht worden.
Wie gesagt, ich selbst mache es anders.
  ─   mikn 09.11.2022 um 16:02

Kommentar schreiben