ich habe Probleme damit, zu beweisen, dass die folgenden 4 Sätze äquivalent sind. Ich bin da gerade irgendwie planlos, also wäre ich für jegliche Tipps/Ideen bezüglich der Beweise dankbar.

Es seien V ein euklidischer Vektorraum, U ⊆ V ein Untervektorraum und π: V → U eine surjektive lineare Abbildung mit π ◦ π = π. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i)  \( \pi ( U^{\perp} ) = 0 \), d.h. π ist die orthogonale Projektion auf U.

(ii) Für alle x,y∈V gilt ∥π(x)−π(y)∥ ≤ ∥x−y∥.

(iii) Für alle x ∈ V gilt ∥π(x)∥ ≤ ∥x∥.

(iv) Für alle x, y ∈ V gilt ⟨π(x), y⟩ = ⟨x, π(y)⟩.