Die folgenden Tipps bringen dich hoffentlich weiter:

\( (i) \Rightarrow (ii) \): Nimm dir ein Element aus \( f_*S \cap f_*T \) und zeige, dass es auch in \( f_*(S \cap T) \) liegt. Im Prinzip musst du dich dazu einfach nur an den Definitionen entlanghangeln und im passenden Moment die Injektivität verwenden.

\( (ii) \Rightarrow (iii) \): Nimm an, dass \( S \cap T = \emptyset \) ist. Zu zeigen ist dann, dass \( f_*S \cap f_*T = \emptyset \) ist. Mit \( (ii) \) hast du bereits \( f_*S \cap f_*T = f_*(S \cap T) \). Wenn du jetzt noch die Annahme verwendest, bist du dann quasi schon fertig.

\( (iii) \Rightarrow (iv) \): Stichwort: Kontraposition. Mehr muss ich dazu hoffentlich nicht sagen.

\( (iv) \Rightarrow (i) \): Nimm an, dass \( f(x_1) = f(x_2) \) ist. Zu zeigen ist dann, dass schon \( x_1 = x_2 \) ist. Betrachte dafür Aussage \( (iv) \) mit den Mengen \( S=\{x_1\} \) und \( T=\{x_2\} \).