Logarithmus umformen

Aufrufe: 615     Aktiv: 16.04.2022 um 14:33

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Hallo zusammen, Ich habe morgen eine wichtige Abgabe und rechne gerade Aufgaben zur Vorbereitung durch...

Ich verzweifle leider komplett am Logarithmus und wäre wirklich unfassbar dankbar wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären könnte.

Aufgabe ist folgende:
f(x)=8^(x+2) invertieren und die Lösung als ln-Funktion schreiben. Invertieren verstehe ich ja noch, aber mich versetzt der Logarithmus in Angst und Schrecken. 
Laut Lösung ist f^-1= log(zur Basis 8) x-2 = (ln(x)/ln(8))-2.

Ich habs zumindest versucht... meine Versuche sahen folgendermaßen aus.
y=8^(x-2)
x = 8^(x-2)
x = e^(ln(8^(x-2)))
Ab da hab ich absolut keine Ahnung mehr wie ich daraus überhaupt irgendwie einen Logarithmus zur Basis 8 basteln soll. Ich bin echt completely lost und bin dankbar für jede Hilfe.



EDIT vom 16.04.2022 um 12:33:

Edit: meine Lösungsversuche waren folgende

y=8^(x-2)
x = 8^(y-2)
x = e^(ln(8^(y-2)))

EDIT vom 16.04.2022 um 12:36:

Nochmaligen Edit, habe mich leider nochmals verschrieben, Entschuldigung

y=8^(x+2)
x = 8^(x+2)
x = e^(ln(8^(x+2)))
gefragt

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2 Antworten
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Es ist nicht Sinn der Übung was hinzubasteln um die vorgegebene Lösung zu erreichen. Es gibt oft mehrere Lösungen, so auch hier.
Zuerst entscheide Dich, ob Du $y=8^{x+2}$ oder $y=8^{x-2}$ umstellen willst.
Dann wende $\ln$ auf beide Seiten an und dann eine geeignete Rechenregel für Logarithmen. Und halte $x$ und $y$ auseinander. Die Variablenbezeichnungen tauscht man erst am Ende um.
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Hallo, vielen Dank für die Antwort, leider erst zu spät gesehen, dass ich mich verschrieben habe... Ich würde jetzt einfach nach deiner Antwort das mal so versuchen:

y = 8^(x+2)
e^(ln(y)) = e^(ln(8^(x+2)))

Jetzt ist das wenigstens äquivalent.

An sich ist halt mein nächster Gedanke bei: log e (x) = ln (x),

Vermutlich würde ich noch wie folgt vereinfachen.
e^(ln(y)) = e^((x+2)*ln(8))

ggf. Noch

e^(Log e (y)) = e^ ((log e (8))*(x+2)

Ich weiß aber einfach nicht wie ich nach x umstellen soll. Ich komme bis hierhin, falls das überhaupt noch richtig ist, und dann weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll. Logarithmus wurde uns nie in dieser Tiefe gelehrt. Das sind die ersten Aufgaben, die ich mit "logarithmus durch irgendetwas ersetzen" bekommen habe. Gerade deswegen liegen die Nerven auch etwas blank.😅
  ─   gast12 16.04.2022 um 12:59

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@gast12 mikn meint du sollst nur den $\ln$ auf beiden Seiten anwenden, also $\ln(y)=\ldots$ ?
@mikn ist es nicht egal wann man $x$ mit $y$ tauscht bzw. gibt es einen guten Grund das erst am Ende zu tun? Ich frage aus persönlichem Interesse weil ich es immer zuerst getauscht und das auch immer so vermittelt habe.
  ─   maqu 16.04.2022 um 13:14

Hallo nochmal, vielen lieben Dank für deine Geduld.

Ehrlichgesagt dachte ich, ich wäre deiner Anweisung gefolgt... ich kann mir unter "wende ln auf beiden Seiten an" nur das obige vorstellen. Ich habe einfach noch nie einen Lösungsweg für derartige Aufgaben in der Konstellation gesehen. Deshalb habe ich mir auch die Lösung vorab angesehen, damit ich überhaupt einen Anhaltspunkt habe.🙈
  ─   gast12 16.04.2022 um 13:20

@maqu: vielen Dank, dass du mir das versuchst zu erläutern wie @mikn das meint... Das wo bei mir die Brücke fehlt ist: ln(y) = ...

Mir fehlt die Brücke weil ich nicht wirklich weiß wie ich aus 8^(x+2) überhaupt ein ln basteln soll. Ich müsste mich ja hier fragen "Mit was muss ich e potentieren um 8 ^ (x+2) zu erhalten" und da hörts bei mir total auf.🙈 Einfach weil ich die Antwort nicht weiß.
  ─   gast12 16.04.2022 um 13:29

@mikn, ja natürlich ist das nicht die erste Gleichung, die ich lösen soll. Nur normalerweise weiß ich halt zumindest wie das was ich bei einer Anwendung auf beiden Seiten herausbekommen soll, aussieht oder zumindest, wie ich das hinbekomme oder wo die Logik dahinter steckt. Hier wir gesagt nicht, mein Problem liegt einfach wirklich beim Logarithmus   ─   gast12 16.04.2022 um 13:32

Wenn ich das mache erhalte ich
ln(y) = ln (8^(x+2)). Und jetzt überlege ich eben, welche Logarithmusregel einschlägig sein soll. Für mich ist da einfach nichts. Mein Ziel ist ja x zu isolieren. Basiswechsel hilft mir erst später. Den Exponenten vorziehen kann ich hier ja auch noch nicht. Wie bekomme ich denn dann x isoliert? Vielen Dank nochmal für die Geduld.
  ─   gast12 16.04.2022 um 13:46

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Ich möchte mikn Antworten nicht wiederholen weil da alles drin steht … vielleicht ein anderes Beispiel … wenn du jetzt die Funktion $y=5x+1$ hättest und du wendest auf beiden Seiten den Sinus an, dann kommst du auf $\sin(y)=\sin(5x+1)$ … du wendest also die gleiche Funktion auf beiden Seiten der Gleichung an … jetzt mache das einfach mit dem $\ln$👍   ─   maqu 16.04.2022 um 13:49

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Oh zu langsam … aber ja genau richtig! Doch jetzt den Exponenten vorziehen!   ─   maqu 16.04.2022 um 13:50

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@gast12 den Basiswechsel brauchst du bei der Variante von mikn nicht da du mit dem $\ln$ von Anfang an gleich die richtige Basis hast   ─   maqu 16.04.2022 um 13:56

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Wir meinen dieselbe Regel.

Dann steht
Ln(y) = x+2 * ln (8)
Ln (y)/ ln (8) = x +2
(Ln (y)/ ln (8)) -2 = x
(Ln (x)/ ln (8)) - 2 = y --> = f^-1 (invertiert)

Jetzt könnte man wenn man noch lustig wäre noch einen Basiswechsel vornehmen.

Log 8 x = log e (x)/ log e (8)

Somit erhielte man log 8 x - 2.


Boaaaah danke!!! Endlich steh ich nicht mehr auf der Leiter. Ich dachte die ganze Zeit den Exponenten als Faktor vor den ln ziehen geht nur bei nochmaliger vorheriger Potentierung. Quasi wenn man hätte ln 8^x^ x+2. Deswegen stand ich auch irre auf der Leiter. Ich war echt davor, das abzuschreiben, dass ich das verstehe. Ihr habt eine irre Geduld und die Community kann froh über Leute wie euch sein. Fantastische Lehrer!
  ─   gast12 16.04.2022 um 14:03

@mikn 💪 … ich finde es auch von gast12 stark obwohl er vielleicht durch meine Antwort schon verstanden hat wie man auf die Lösung kommt er nicht müde ist deinen Weg nachvollziehen zu wollen … ist hier im Forum eher die Seltenheit   ─   maqu 16.04.2022 um 14:04

@gast12 Super👌 Nicht aufgegeben und sicher viel gelernt dabei!   ─   maqu 16.04.2022 um 14:07

Wärt ihr beide nicht so unfassbar geduldig und ruhig geblieben, hätte ich einfach den Kopf in den Sand gesteckt und Mathe für dieses Semester einfach begraben. 😂 Wie gesagt, großartige Lehrqualitäten! Finde ich absolut top, dem Fragestellenden genau den Mut einzuimpfen den er selbst schon nicht mehr hat. Gelernt hab ich auf jeden Fall dabei! Und danke für den Hinweis!! :) P.S. wohlverdient! Um solche Profs/Lehrer kann man nur froh sein. :) maqu geht natürlich auch nicht leer aus. :)   ─   gast12 16.04.2022 um 14:13

Danke für deine netten Worte auch an mich 😅   ─   maqu 16.04.2022 um 14:27

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Dein Ansatz ist falsch. Du hast deine Ausgangsgleichung $y=8^{x+2}$. Zuerst vertauschst du $x$ und $y$ und stellst dann nach $y$ um. Dann solltest du auf deine Lösung kommen. Wenn du dann nach $y$ umgestellt hast ist $y=f^{-1}$. Im letzten Schritt benutzt du den Basiswechsel, es gilt $\log_b(a)=\dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$. Dabei ist die neue Basis $c$ die du einbringst die eulersche Zahl $e$, denn es ist $\log_e(x)=\ln(x)$. Versuche wie gesagt erstmal $x$ und $y$ In deiner Gleichungh zu tauschen und nach $y$ umzustellen. Am Ende dann noch der Basiswechsel des Logarithmus. Wenn du nicht weiterkommst lade deine Versuche hoch.
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Hallihallo, vielen lieben Dank für deine Antwort. Das mit dem Basiswechsel hilft mir total viel für das Gesamtverständnis warum da nun plötzlich log statt ln steht. Mein Problem ist halt einfach, dass ich nicht mal weiß wie ich die variable x isolieren soll (um später dann y und x zu vertauschen). Ich hänge da einfach wie unten beschrieben total auf der Leitung.   ─   gast12 16.04.2022 um 13:02

Den Basiswechsel zu kennen ist auf jedenfall hilfreich … Um nach dem vertauschen das $y+2$ aus dem Exponenten zu holen, wendest du einfach die Definition des Logarithmus an $b^c=a \quad \Leftrightarrow \quad c=\log_b(a)$. Danach benutzt du einfach Äquivalenzumstellung und Basiswechsel.   ─   maqu 16.04.2022 um 13:21

@mikn ich gebe dir recht dass man nicht auf die Lösung hinarbeiten sollte, da hatte ich in dem Moment zu engstirnig gedacht dem Fragesteller zu erklären wie man auf die Lösung kommt … zu meiner Verteidigung du meintest ja viele Wege führen nach Rom und so viel komplizierter ist der Weg mit dem Basiswechsel garnicht, die Anzahl der Umrechnungsschritte ist sogar einer weniger 😅 … ich finde es aber sehr wertvoll das man hier zwei unterschiedliche Wege zum Ziel erläutert, kann dem Fragesteller ja nur helfen beides nachzuvollziehen👍 … aber ich geb zu an deine Variante mit dem $\ln$ auf beiden Seiten hatte ich vorhin nicht gedacht   ─   maqu 16.04.2022 um 13:44

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