Gegenbeispiel Kardinalität eines kartesischen Produkts

Erste Frage Aufrufe: 121     Aktiv: 10.11.2023 um 18:14
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Mit welchem Gegenbeispiel kann man die Aussage:
"Für beliebige endliche Mengen A, B gilt, dass |(A × B)∪ A| = |A × B| + |A|"
widerlegen?
LG

EDIT vom 09.11.2023 um 17:17:

Ich bin mir nämlich unsicher wie die Kardinalität aussieht, wenn man A={} und B={1} einsetzt.
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Schonmal selbst Gedanken gemacht und Beispiele überlegt? Fang damit an und zeige deine Ergebnisse.   ─   cauchy 09.11.2023 um 16:34
Ja natürlich habe ich mir schon zahlreich Gedanken gemacht.
   ─   mathegenie9999 09.11.2023 um 16:50
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Und wo sind deine Ansätze?   ─   cauchy 09.11.2023 um 16:52
Ich habe es jetzt versucht mit A={} und B={1}. Dann müsste die Kardinalität des linken Teils 1 und rechts = 2 sein oder?   ─   mathegenie9999 09.11.2023 um 17:04
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@mathe101 Hier ist keine Beleidigung erkennbar. Der Kodex (link oben rechts, lies Du den auch mal) sagt, dass eigene Ideen beigefügt werden sollten. Wer das nicht tut, und kommentarlos Aufgabentexte postet, riskiert den Verdacht, sich noch gar nicht mit der Aufgabe beschäftigt zu haben. Dann wäre Hilfe (noch) nicht sinnvoll.   ─   mikn 09.11.2023 um 17:13
Entschuldigung übrigens, dass ich den Kodex nicht eingehalten habe   ─   mathegenie9999 09.11.2023 um 17:19
Kann mir aber jetzt jemand weiterhelfen? HILFEE!! @cauchy @mathe101 @mikn   ─   mathegenie9999 09.11.2023 um 17:20
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Schon ok, Du hast ja Deine Ideen nachgeliefert. Bisschen Geduld mit den Helfern solltest Du aber auch haben. Wir machen das ohne Entlohnung nebenher.   ─   mikn 09.11.2023 um 17:22
Hab natürlich Verständnis und bin auch dankbar, wenn ich eine Antwort bekomme:)   ─   mathegenie9999 09.11.2023 um 18:25
HAAAAAAALLLLLOOOOO   ─   mathegenie9999 10.11.2023 um 11:29
Wenn Deine Frage viele Aufrufe hat, aber keine sinnvolle Antwort bekommt, kann es daran liegen, dass wir selbst mal länger überlegen müssen.
In Deinem Beispiel ist sind linke und rechte Seite beide 0 (-> wikipedia). Wie lautet denn die Aufgabe im Original?   ─   mikn 10.11.2023 um 13:13
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2 Antworten
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Es ist immer richtig.
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Für disjunkte endliche Mengen \(X\) und \(Y\) gilt immer \( \vert X \cup Y \vert = \vert X \vert + \vert Y \vert  \). Mit dieser Information kann man sich nun folgendermaßen ein Gegenbeispiel überlegen:

Wir starten mit beliebigen endlichen Mengen, beispielsweise \( A = \{1\} \) und \( B = \{1\} \). Als Produkt ergibt sich dann \( A \times B = \{ (1,1) \} \).

Damit die Gleichung nicht stimmt, dürfen nach obiger Überlegung \( A \times B \) und \( A \) nicht disjunkt sein. Es muss also ein Element aus \( A \times B \) in \( A \) liegen.

Für unser Beispiel bedeutet dies, dass wir das Element \( (1,1) \) aus \( A \times B \) zu \( A \) hinzufügen und hoffen, dass etwas Passendes herauskommt. Wir betrachten also nun die Mengen \( A = \{1, (1,1)\} \) und \( B = \{1\} \) und müssen nur noch überprüfen, ob es sich hierbei tatsächlich um ein Gegenbeispiel handelt. Das überlasse ich dir.
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