Mit dem Differentialquotient kannst du in jedem kritischen Punkt wie folgt die Grenzwerte bestimmen: 

Partielle Ableitung am Punkt (x0,y0) nach x:   \( lim_{h->0} \frac{f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)}{h} \)
Analog dazu die Partielle Ableitung am Punkt (x0,y0) nach y:     \( lim_{h->0} \frac{f(x0, y0 + h) - f(x0, y0)}{h} \)

Das ganze kannst du dann auf n Dimensionen erweitern mit:     \( lim_{h->0} \frac{f(x0 + h, ... , xn) - f(x0, ... , xn)}{h} \)

Und falls alle Partiellen Ableitungen in allen kritischen Punkten existiert, dann sollte das ganze partiell differenzierbar sein (sofern die Funktion abgesehen von den kritischen Punkten partiell differenzierbar ist..)

Eine Funktion heißt partiell differenzierbar,  wenn in jedem Punkt alle  partiellen Ableitungen existieren