Partielle Differenzierbarkeit

Erste Frage Aufrufe: 73     Aktiv: 03.08.2021 um 10:08

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Hallo, ab wann kann ich sagen, dass eine Funktion im IR^n partiell differenzierbar ist (Funktionen mit kritischen Punkten)?
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Mit dem Differentialquotient kannst du in jedem kritischen Punkt wie folgt die Grenzwerte bestimmen: 

Partielle Ableitung am Punkt (x0,y0) nach x:   \( lim_{h->0} \frac{f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)}{h} \)
Analog dazu die Partielle Ableitung am Punkt (x0,y0) nach y:     \( lim_{h->0} \frac{f(x0, y0 + h) - f(x0, y0)}{h} \)

Das ganze kannst du dann auf n Dimensionen erweitern mit:     \( lim_{h->0} \frac{f(x0 + h, ... , xn) - f(x0, ... , xn)}{h} \)

Und falls alle Partiellen Ableitungen in allen kritischen Punkten existiert, dann sollte das ganze partiell differenzierbar sein (sofern die Funktion abgesehen von den kritischen Punkten partiell differenzierbar ist..)
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Eine Funktion heißt partiell differenzierbar,  wenn in jedem Punkt alle  partiellen Ableitungen existieren
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