LR-Zerlegung

Aufrufe: 487     Aktiv: 14.12.2023 um 14:26
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A = ( 0  -4    10   15/2
       -2  6    3   10
        2  -6    7   -11/2
       -2 10  -12   0 ) .

b = ( 52
        59
        -11 
        -18).
1) Berechnen Sie (mit Bleistift und Papier) eine LR-Zerlegung von A und die Determinante von A. Lösen Sie Ax = b.
2) Berechnen Sie die Konditionszahl cond∞(A). Berechnen Sie dazu die Inverse von A mit Hilfe der LR-Zerlegung.

ich hab meine Lösung als photo beigefügt kann jemand es einfach nachsehen wirde ich dankbar.
Danke.






EDIT vom 14.12.2023 um 00:56:

Ich könnte nicht finden wieso diese matrix besetzt keine LR zerlegung ! det A nicht Null 

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1 Antwort
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Diese Matrix besitzt keine LR-Zerlegung und Du hast auch keine berechnet.
Du gibst auch kein L und kein R an, das ist für den Leser (und Dich selbst später) mühselig. Anscheinend hast Du eine Probe gemacht (sinnvoll), aber auch nicht A erhalten. Wg der 0 links oben geht es nicht.
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Danke für die Rückmeldung.
Darf ich fragen warum besitzt die Matrix keine LR Zerlegung? (det A = 20 nicht Null)
Wenn es keine LR Zerlegung möglich dann steht keine inverse A mit Hilfe der LR Zerlegung ?

Vielen Dank
Abdull   ─   abdull 13.12.2023 um 20:27
1
Üblicherweise bestimmt man die LR-Zerlegung aus einem (sauber!) durchgeführten Gauß-Algorithmus ohne(!) Zeilenvertauschungen. Wenn es eine LR-Zerlegung geben würde (schreib Dir das schematisch hin), darf $a_{11}$ in $A$ nicht 0 sein, das sieht man dann. Eine Inverse gibt es in diesem Fall, das ist aber eine andere Frage.   ─   mikn 13.12.2023 um 20:46
Aha ich dachte dass ich die Zeilenvertauschungen möglich sind.
was soll die Antwort sein (Die Matrix besitzt keine LR-Zerlegung) !! weil auf die Aufgabe viel punkte steht .

Ich hab neue Photot beigefügt aber denke ich es falsch
  ─   abdull 14.12.2023 um 01:01
1
Weil $LR\neq A$. Siehe meinen Kommentar zu deiner Frage zum Python-Programm.   ─   mikn 14.12.2023 um 10:19
also laut meiner lösung


L =
(1 0 0 0
0 1 0 0
-1 0 1 0
1 -1 -.5 1 )

R=
(-2 6 3 10
0 -4 10 15/2
0 0 10 9/2
0 0 0 -1/4 )


LR= (-2 6 3 10
0 -4 10 15/2
2 -6 7 -11/2
-2 10 -12 0 )
A=( 0 -4 10 15/2
-2 6 3 10
0 0 10 9/2
0 0 0 -1/4 )


LR≠A

det A = 1 * 20 = 20

Ax=b -> Ax=LRx=b <-> Ly= b , Rx=y


Ly= b ->
y1 = 52
y2 = 59
y3 = 41
y4 = 19/2

Rx=y ->

x4 = -38
x3 = 106/5
x2= -33
x1 = -1416/5

det A = 20.


Cond∞(A)= ∣∣A∣∣∞.∣∣A^-1∣∣∞
A=(21,5
21
20,5
24) > ∣∣A∣∣∞ = 24
A^-1 = (-541/20 271/20 -49/4 -263/10
-13/4 7/4 -5/4 -3
9/5 -4/5 1 9/5
-4 2 -2 -4)

∣∣A^-1∣∣∞ = 74,15

Cond∞(A)= ∣∣A∣∣∞.∣∣A^-1∣∣∞ = 1899,6




oder bin ich noch im falschen weg   ─   abdull 14.12.2023 um 11:15
1
Du kannst nicht mit $LR\neq A$ weiterrechnen, als wäre $LR=A$. In diesem Fall ist nur $PA=LR$ und dann muss bei $b$ auch $P$ angewendet werden.   ─   mikn 14.12.2023 um 11:45
also hab ich so berechnet


L =
(1 0 0 0
0 1 0 0
-1 0 1 0
1 -1 -.5 1 )

R=
(-2 6 3 10
0 -4 10 15/2
0 0 10 9/2
0 0 0 -1/4 )


LR= (-2 6 3 10
0 -4 10 15/2
2 -6 7 -11/2
-2 10 -12 0 )
A=( 0 -4 10 15/2
-2 6 3 10
0 0 10 9/2
0 0 0 -1/4 )


LR≠A

PA=LR ,
Ly=Pb ,
Rx=y

mit P =( 0 1 00
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1).

Ly=Pb

L =
(1 0 0 0
0 1 0 0
-1 0 1 0
1 -1 -.5 1 )
(y1
y2
y3
y4)
Pb =(59
52
-11
-18 ).
y1 = 59
y2 = 52
y3 =48
y4 = 10

Rx = y
x1= 2367/5
x2= -31
x3= 114/5
x4=-40

det A = 1 * 20 = 20

Ax=b -> Ax=LRx=b <-> Ly= b , Rx=y


Ly= b ->
y1 = 52
y2 = 59
y3 = 41
y4 = 19/2

Rx=y ->

x4 = -38
x3 = 106/5
x2= -33
x1 = -1416/5

det A = 20.


Cond∞(A)= ∣∣A∣∣∞.∣∣A^-1∣∣∞
A=(21,5
21
20,5
24) > ∣∣A∣∣∞ = 24
A^-1 = (-541/20 271/20 -49/4 -263/10
-13/4 7/4 -5/4 -3
9/5 -4/5 1 9/5
-4 2 -2 -4)

∣∣A^-1∣∣∞ = 74,15

Cond∞(A)= ∣∣A∣∣∞.∣∣A^-1∣∣∞ = 1899,6
   ─   abdull 14.12.2023 um 12:34
ich wollte auch wissen was meinten Sie mit nicht mit LR≠A weiterrechnen, also theoretisch A ändert sich nicht in beiden fällen um det A und Ax=b zu berechnen oder habe ich flasch verstanden ?

Danke   ─   abdull 14.12.2023 um 12:40
1
Jetzt bietest Du mir zwei verschiedene Lösungen an, einmal mit A=LR, einmal mit PA=LR. Was meinst Du denn, welche die richtige ist? Mach die Probe, zu lösen ist Ax=b.   ─   mikn 14.12.2023 um 12:50
als ich berechnet habe Ax≠b.

für die frage , Lösen Sie Ax = b. ich werde sagen das Ax≠b. mit berechnung von A. x

L =
(1 0 0 0
0 1 0 0
-1 0 1 0
1 -1 -.5 1 )

R=
(-2 6 3 10
0 -4 10 15/2
0 0 10 9/2
0 0 0 -1/4 )


LR= (-2 6 3 10
0 -4 10 15/2
2 -6 7 -11/2
-2 10 -12 0 )
A=( 0 -4 10 15/2
-2 6 3 10
0 0 10 9/2
0 0 0 -1/4 )


LR≠A

PA=LR ,
Ly=Pb ,
Rx=y

mit P =( 0 1 00
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1).

Ly=Pb

L =
(1 0 0 0
0 1 0 0
-1 0 1 0
1 -1 -.5 1 )
(y1
y2
y3
y4)
Pb =(59
52
-11
-18 ).
y1 = 59
y2 = 52
y3 =48
y4 = 10

Rx = y
x1= 2367/5
x2= -31
x3= 114/5
x4=-40

Ax=b existiert nich da Ax≠b.



det A = 20.


Cond∞(A)= ∣∣A∣∣∞.∣∣A^-1∣∣∞
A=(21,5
21
20,5
24) > ∣∣A∣∣∞ = 24
A^-1 = (-541/20 271/20 -49/4 -263/10
-13/4 7/4 -5/4 -3
9/5 -4/5 1 9/5
-4 2 -2 -4)

∣∣A^-1∣∣∞ = 74,15

Cond∞(A)= ∣∣A∣∣∞.∣∣A^-1∣∣∞ = 1899,6   ─   abdull 14.12.2023 um 13:21
Ax=b existiert, es ist ein LGS. Und eine Lösung existiert auch. Nochmal die Frage: was ist die Lösung, mit Probe. Und poste nicht alles mehrmals, das ist unübersichtlich.   ─   mikn 14.12.2023 um 14:26

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