Umkehrfunktion/Invertieren - Potenzgesetze - Wo liegt mein Denkfehler ?

Aufrufe: 384     Aktiv: 15.04.2022 um 20:22
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Hallo zusammen, ich stehe etwas auf dem Schlauch. Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Denkfehler bei der folgenden Aufgabe liegt? $$
Aufgabe: \quad invertiere\quad f(x) = \sqrt[ 3 ]{1-x^3} \\\\
meine \quad Lösung: \quad \\\\
D = R \geq 0; W = R>0\\ \\

 f(x) = \sqrt[ 3 ]{1-x^{ 3 }}\\
y= (1-x^{3})^{(1/3)}\\
y= 1^{1/3} - (x^3)^{1/3}       --> (x^3)^{1/3} = meines  \quad Erachtens:\quad x^{3x1/3} = x^{1} = x\\
y= 1-x\\\\

 invertieren: x = 1-y \quad somit f^-1 (x) = 1-y. \\\\

offizielle \quad Lösung \quad sagt:  f^{-1}  (x) = \sqrt[ 3 ]{1-x^3} \qquad  D = R $$
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1 Antwort
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Fehler z.B. ist : (a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³, also wie bei binom. Formeln nicht einfach erstes hoch Exponent minus zweites hoch Exponent, so hast du mit hoch 1/3 aufgelöst ....

wenn du anfangs x und y vertauschst, mit 3 potenzierst und nach y auflöst wird es richtig

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Vielen Dank für deine Antwort. Wie müsste ich es denn richtig auflösen mit (1-x^3)^1/3?

Wie ich eine binomische Formel ausführe ist mir klar, aber hier müsste ich das ja auch so schreiben können. Ich steh grad auch auf der Leitung warum ich gerade hoch 3 rechne. 🙈 Ja, vermutlich wegen der 3. Wurzel. Mir fehlt nur die Herleitung quasi.😅   ─   gast12 15.04.2022 um 09:54
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hoch 3 ist die Umkehroperation von 3.Wurzel, genau so wie Quadrieren die Quadratwurzel auflöst (und umgekehrt). wenn du mit Potenzschreibweise arbeitest, Klammer stehen lassen und das hoch 1/3 dann mal 3, das y auf der anderen Seite hoch 3   ─   honda 15.04.2022 um 10:02
Vielen Dank, jetzt habe ich das wirklich umfassend verstanden. Perfekt. Nur tatsächlich frage ich mich jetzt noch, warum unter der Wurzel nicht y steht. ich dachte x und y müssten beim Invertiervorgang die seiten wechseln, bzw. ich verstehe noch nicht so ganz, warum invertierte Gleichung und die nicht invertierte dieselbe sind.
  ─   gast12 15.04.2022 um 15:57
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dass hier beide Funktionen gleich sind ist Zufall bzw. liegt an der speziellen Funktion hier, "normal" ist das nicht ;)
beim Invertieren vertauschst du x und y, an welcher Stelle deiner Rechnung ist egal (ich bevorzuge vorher).   ─   honda 15.04.2022 um 20:22

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