Injektive und Bijektive Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 77     Aktiv: 12.07.2021 um 20:16

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Hallo zusammen! 

Ich hätte eine wichtige Frage zu einem Beispiel: 

Die Frage beginnt mit "Wie viele Abbildungen f: {1,...,10} -> {1,...,10} gibt es?" 

Meine Lösung hierfür wäre 10^10! 

Injektive Abbildungen existieren hiervon 10!, wenn ich mich nicht täusche... Nun ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Abbildung bijektiv, wenn sie injektiv ist? 

Wenn die Definitionsmenge und die Zielmenge gleichmächtig sind, ist dann jede injektive Abbildung auch bijektiv? Meiner Berechnung nach würde ich nämlich auf Wahrscheinlichkeit 1 kommen! 

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann und bedanke mich im Voraus! 
Liebe Grüße :) 

gefragt

Punkte: 15

 

Zur ersten Frage will ich mir gerade nicht den Kopf zerbrechen (kein Fan von Kombinatorik), aber sind Definitions- und Zielbereich gleichmächtig, so ist jede injektive Abbildung automatisch surjektiv und somit bijektiv.

Unter der Annahme, dass \(f\) injektiv ist, folgt sofort Bijektivität.

Zur Frage eins so viel: Es gibt \(10!\) bijektive Abbildungen (Permutationen)
  ─   zest 12.07.2021 um 15:54
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Das meiste hat anonym oben im Kommentar schon beantwortet. Bleibt noch: wieviele Abbildungen gibt es?
Dazu überlege: wieviele Möglichkeiten gibt es für den ersten Funktionswert, also für f(1)? Wieviele für f(2)? Usw.... Da wir ein f(1) UND ein f(2) UND ... brauchen, wird die Anzahl der Möglichkeiten miteinander multipliziert. Also?
Wenn man das einmal durchschaut hat, ist auch die Antwort auf die (nicht gestellte) Frage, was ist wenn der Defbereich k Elemente hat und der Wertebereich n, einfach.
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Bleibt noch zu überlegen, warum bei gleichmächtigen Mengen injektive Abbildungen automatisch surjektiv sein müssen.

Jedes Element der Definitionsmenge wird auf genau ein Zielelement abgebildet. Jedes Zielelement darf aber höchstens einmal Ziel sein.... Wie viele Ziele bleiben dann über?
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Punkte: 865

 

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Du meinst sicher "jedes Element der Definitionsmenge wird...".   ─   zest 12.07.2021 um 19:52

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Ja. Meinte ich :-) Ändere ich sofort.... danke!   ─   joergwausw 12.07.2021 um 20:01

Sehr gerne 👍   ─   zest 12.07.2021 um 20:16

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