Relation auf Menge aller Polynome

Erste Frage Aufrufe: 98     Aktiv: 16.03.2021 um 23:44

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Kann mir jemand erklären wie ich zeigen kann, dass folgende Relation reflexsiv, symmetrisch und trasitiv ist?

\(Q[x]\) ist die Menge aller Polynome
\(f(x)Rg(x)\), falls \(f(x) - g(x) = x^4 * u(x)\) für ein \(u(x)\in Q[x]\)
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Schreib doch einfach mal die Definitionen der Eigenschaften auf und setze ein: 

\(f(x)Rf(x)\): \(f(x)-f(x)=x^4u(x)=0\), es ist also \(u(x)=0\in Q[x]\).

Den Rest schaffst du jetzt bestimmt selbst.
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Selbstständig, Punkte: 8.01K
 

So ganz versteh ich das noch nicht. Die Symmetrie sagt ja \(f(x)Rg(x) \Rightarrow g(x)Rf(x)\)
Aber woher weiß ich was \(f(x)-g(x)\) ist und ob es gleich \(g(x)-f(x)\) ist?

Edit: Oder ist das egal weil durch die reflexivität bewiesen ist, dass es ein \(u(x) = 0\) gibt und ich das einfach immer einsetzen kann?
  ─   usera2b993 16.03.2021 um 20:20

Es steht doch in der Aufgabe, was \(f(x)-g(x)\) ist. Einfach einsetzen.
  ─   cauchy 16.03.2021 um 20:28

Es steht nur "für ein \(u\in Q[x]\)" dort. Es kann also jedes beliebige sein. Im Falle der Reflexivität kann man also \(u(x)=0\) finden.   ─   cauchy 16.03.2021 um 20:29

Also wäre folgendes die Lösung der Aufgabe?

reflexsiv:
\(f(x)Rf(x): f(x) - f(x) = x^4u(x) = 0 => u(x) = 0 \in \mathbb{Q}[x]\)

symmetrisch:
\(f(x)Rg(x) \Rightarrow g(x)Rf(x)\), für \(u(x) = 0:\)
\(f(x)-g(x) = x^4*0 = 0 \Rightarrow g(x)-f(x) = x^4*0 = 0\)

transitiv:
\(f(x)Rg(x), g(x)Rk(x) \Rightarrow f(x)Rk(x)\), für \(u(x) = 0:\)
\(f(x) - g(x) = x^4*0 = 0, g(x) - k(x) = x^4*0 = 0 \Rightarrow f(x) - k(x) = x^4*0 = 0\)
  ─   usera2b993 16.03.2021 um 20:41

Du kannst nicht einfach überall \(u(x)=0\) benutzen.   ─   cauchy 16.03.2021 um 22:01

Dann versteh ich's nicht :(   ─   usera2b993 16.03.2021 um 22:21

Du musst es halt für \(u(x)\) allgemein machen und nicht für \(u(x)=0\).   ─   cauchy 16.03.2021 um 22:28

Wie denn für \(u(x)\) allgemein? Ich brauch doch Werte um beweisen zu können dass die Eigenschaften der Relation zutreffen.   ─   usera2b993 16.03.2021 um 22:45

Es ist \(f(x)Rg(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=x^4u(x)\) für ein \(u\in Q[x]\). Daraus folgt \(g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))= \dots \) für ein \(v(x)\in Q[x]\) mit \(v(x)= \dots\), also \(g(x)Rf(x)\). Kannst du die Lücken ausfüllen?   ─   cauchy 16.03.2021 um 22:51

\(-(f(x) - g(x)) = -(x^4u(x))\) ?
Ich steh hier grad etwas auf dem Schlauch ... aber mir raucht heute auch schon der Kopf :D
  ─   usera2b993 16.03.2021 um 23:06

Ja. Und wie bekommst du das jetzt auf die Form, um zu zeigen, dass \(g(x)Rf(x)\) gilt?   ─   cauchy 16.03.2021 um 23:07

Ich komm nicht drauf wie ich das - da wegbekomme.   ─   usera2b993 16.03.2021 um 23:12

Indem du einfach \(v(x)=-u(x)\) wählst und dann \(x^4v(x)\) da stehen hast. Und \(v(x)\in Q[x]\). Es ist ja egal, ob das Ding nun \(u, v\) oder Alfred heißt.   ─   cauchy 16.03.2021 um 23:15

Ich dachte \(g(x)Rf(x)\) muss für das selbe \(u(x) \in Q[x] \) gelten wie für \(f(x)Rg(x)\)   ─   usera2b993 16.03.2021 um 23:21

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Nein, für EIN \(u\in Q[x]\).   ─   cauchy 16.03.2021 um 23:39

Okay, ich glaub dann versteh ich's jetzt. Danke für deine Geduld :D   ─   usera2b993 16.03.2021 um 23:44

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