Diagonalisierbarkeit

Aufrufe: 40     Aktiv: 18.07.2021 um 17:17

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Gegeben Sei die Matritze 
A= \(\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 \end{pmatrix}\)

Untersuchen Sie A auf Diagonalisierbarkeit. Geben Sie ggf. eine invertierbare Matritze S an, sodass \(S^{-1}\)AS in Diagonalgestalt ist.

Die Diagonalisierbarkeit habe ich bereits untersucht.

Eigenwerte sind 2 und -1

Eigenvektoren sind:

\(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 7\\-6\\4 \end{pmatrix}\)

Der Eigenwert -1 hat eine geometrische und algebraische Vielfachheit von 1.  Der Eigenwert 2 hat eine geometrische und algebraische Vielfachheit von 2. 
Somit ist A diagonalisierbar.

Ich verstehe jedoch nicht was mit dem 2. Teil gemeint ist und wie der funktioniert. 

Kann mir da bitte einer helfen?
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Du meinst "Geben Sie..."? Das ist die Definition von "diagonalisierbar". Es muss also so ein S geben. Da Du anscheinend weißt, wie "diagonalisierbar" mit EVen/EWen zusammen hängt, könntest Du auch wissen, wie man S aufstellt. Das geht nämlich aus dem Beweis bzw. der Begründung für "diagonalisierbar" über die Betrachtung der EVen/EWe hervor. Dort schau mal nach.
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Die invertierbare Tranformationsmatrix S ergibt sich aus den Eigenvektoren, hier:
\(S=\pmatrix{0&1&7\\1&0&-6\\0&1&4}\)
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