Fehler 1. Und 2. Art

Aufrufe: 28     Aktiv: 04.06.2021 um 22:16

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Wofür stehen die Fehler 1. und 2. Art?

Ist es schließlich nur ein Alternativtest, um etwas beweisen zu können?
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Führst du einen Hypothesentest durch, dann hast du eine Nullhypothese, deren Richtigkeit du annimmst.
Zu dieser gehört eine Wahrscheinlichkeit \( p_0 \), aus der sich mit der Stichprobenzahl eine Binomial-/Normalverteilung der Zufallsgröße ergibt.
Außerdem gibt es noch die Alternativhypothese, die von einer anderen Wahrscheinlichkeit \( p_1 \) ausgeht und die ebenfalls eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße hat.

Es ergibt sich jedoch ein Problem: Die beiden Verteilungen überlagern sich.
Ist beispielsweise die Stichprobengröße \( n = 100 \) und \( p_0 = 0,4 \) und \( p_1 = 0,6 \), dann kann ein Ergebnis von beispielsweise \( X = 50 \) zu beiden Hypothesen passen.
Deshalb ist es sinnvoll, dass du bestimmte Intervalle für die beiden Verteilungen festlegst, in denen die Zufallsgröße mit hoher Wahrscheinlichkeit landet.

Da du die Richtigkeit der Nullhypothese annimmst, beginnst du immer mit \( p_0\).
Üblich sind sogenannte Signifikanzniveaus von \( 5\)% oder \( 1\)%. Das soll die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art sein, nämlich dass die Nullhypothese fälschlicherweise zugunsten der Alternativhypothese verworfen wird. Du legst nämlich den Akzeptanzbereich der Nullhypothese fest, in dem die Zufallsgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \( 1 - \alpha \) einen Wert annimmt. Alles außerhalb dieses Intervalls ist dann der Verwerfungsbereich der Nullhypothese. Bei Richtigkeit der Nullhypothese ist es unwahrscheinlich, dass die Zufallsgröße einen Wert im Verwerfungsbereich annimmt, jedoch ist es nicht unmöglich.
Nehmen wir wieder das Beispiel: Der Akzeptanzbereich der Nullhypothese sei jetzt das Intervall \( [0;53] \) (hab das nicht nachgerechnet, wie dann die Intervallwahrscheinlichkeiten sind, aber die genauen Zahlen sind zur Erklärung nicht so wichtig - wenn du magst, kannst du das ja als Übung mal rechnen :) ). Bekommst du jetzt aber beispielsweise einen Wert der Zufallsgröße von \( X = 54 \), dann hast du die Entscheidungsregel formuliert, dass du aufgrund dieses Ergebnisses sagst, dass die Nullhypothese \( p_0 = 0,4 \) falsch sei und stattdessen die Alternativhypothese \( p_1 = 0,6 \) korrekt sein müsse. Jedoch ist dieses Ergebnis auch für \( p_0 = 0,4 \) möglich und wenn tatsächlich die Nullhypothese wahr ist, dann läge ein Fehler 1. Art vor.

Beim Fehler 2. Art ist es quasi umgekehrt. Denn auch wenn die Nullhypothese falsch und die Alternativhypothese richtig ist, kann die Zufallsgröße im Akzeptanzbereich der Nullhypothese landen. Dann würdest du aufgrund deiner Entscheidungsregel die Alternativhypothese fälschlicherweise verwerfen.

Wichtig: Mit einem Hypothesentest kannst du (erstmal) nichts beweisen. Du kannst nur Vermutungen mit einer gewissen Fehlertoleranz bestätigen oder verwerfen.

Es ist hilfreich, wenn du dir hierzu, um die Verteilungen zu veranschaulichen und einfacher festzustellen, wie du den Hypothesentest durchführen musst, die überlagerten Verteilungen ansiehst (z.B. mit GeoGebra oder einem ähnlichen Tool).

Soooo, ich hoffe, dieser Roman war hilfreich!
LG Lunendlich :)
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