Hallo zusammen,

ich bin selbst Nachhilfelehrer und möchte ein Beispiel eines Hypothesentests (erstmal nur linksseitig) einer Binomialverteilung anhand der Rechnung über die Tabelle, mit Sigma-Regel und eine approximierte Normalverteilung vergleichen. Dabei ist mir aufgefallen, dass die Ergebnisse für die kritische Zahl k zwischen Tabelle und Sigma-Regel/Normalverteilung etwas abweichen. Ich kann nicht genau erklären, woran das liegt und habe schon viel dazu recherchiert aber nicht wirklich was fundiertes gefunden. Vllt. könnt ihr mir da ja helfen.

\(n=250\\p=0.25\\\alpha=0.05 \\H_{0}:p_{0} >0.25\\H_{1}:p_{1}\leq 0.25\)

1. Binomialverteilung und Tabelle

\( \begin{aligned}p\left( x\leq k\right) \leq 0.05\\F\left( 250;0.25;k\right) \leq 0.05\\k=50\\\overline {A}=\left\{ 0;50\right\} \\A=\{ 51;250\}\end{aligned}\)

2. Sigma-Regel

Prüfung, ob Sigma-Regel angewendet werden kann:

\(\begin{aligned}\sigma  >3?\\\sigma =\sqrt {n\cdot p\cdot \left( 1-p\right) }\\\sigma =\sqrt {250\cdot 0.25\cdot 0.75}\\\sigma =6.85\end{aligned}\)

Ist also kein Problem. Durch \(\alpha=0.05\) handelt es sich um das 95%-Sicherheitsintervall, also muss ich beim linksseitigen Test mit \(k=\mu-1.645\cdot \sigma\) rechnen.

\(\mu=n\cdot p= 250\cdot 0.25=62.5\)

\(k=62.5-1.645\cdot 6.85= 51.23175\)

Da man hier jetzt erfahrungsgemäß abrundet, wäre \(k=51\), d.h.:

\( \begin{aligned}\overline {A}=\left\{ 0;51\right\} \\A=\{ 52;250\}\end{aligned}\)

3. Approximierte Normalverteilung

Vorausgesetzt hier ist das Wissen über \(\Phi \left( -z\right) =1-\Phi \left( z\right) \)

\(\begin{aligned}\mu =62.5\\\sigma =6.85\\P\left( z\leq k\right) \leq 0.05\\\Phi \left( \dfrac {k-\mu +0.5}{\sigma }\right) \leq \alpha \\\Phi \left( \dfrac {k-62.5+0.5}{6.85}\right) \leq 0.05\\\dfrac {k-62.5+0.5}{6.85}=-1.645\end{aligned}\)

Das dann umgestellt ergibt \(k=50.7315\). Hier wiederum kenne ich es, dass man aufrundet. Deshalb dann:

\( \begin{aligned}\overline {A}=\left\{ 0;51\right\} \\A=\{ 52;250\}\end{aligned}\)

Jetzt hab ich schon im Internet gelesen, dass Sigma-Regel und Approximation eben nur eine Annäherung sind und deshalb nicht unbedingt die exakten Werte liefern. Allerdings hatte ich dieses Problem bei anderen Aufgaben so auch nicht. Ich habe hier festgestellt, dass das vor allem dann passiert, wenn der Erwartungswert keine natürliche Zahl ist (so wie hier bei mir auch).

Kann mir jemand die Unterschiede hier klarmachen bzw. erläutern?