Beweisaufgabe Kern und Bild

Aufrufe: 707     Aktiv: 01.06.2021 um 20:01

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Hey, könnte mir Jemand zu dieser Aufgabe einen Anhaltspunkt geben,
ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.

Liebe Grüße

Hendrik  
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Student, Punkte: 42

 
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2 Antworten
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Klar ist \(\mathrm{Kern}(F)+\mathrm{Bild}(F)\subseteq V\), außerdem ist wegen \(\mathrm{Kern}(F)\cap\mathrm{Bild}(F)=\{0_V\}\) die Summe direkt, d.h. \(\mathrm{Kern}(F)+\mathrm{Bild}(F)=\mathrm{Kern}(F)\oplus\mathrm{Bild}(F)\) und mit dem Dimensionssätzen für direkte Summen und lineare Abbildungen (hier geht ein, dass \(V\) endlich erzeugt ist) folgt $$\dim_K(\mathrm{Kern}(F)\oplus\mathrm{Bild}(F))=\dim_K(\mathrm{Kern}(F))+\dim_K(\mathrm{Bild}(F))=\dim_K(V),$$ also ist \(\mathrm{Kern}(F)+\mathrm{Bild}(F)\subseteq V\) ein Unterraum mit gleicher Dimension und damit gilt bereits Gleichheit.
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Was genau bedeutet direkte Summe?   ─   hendriksdf5 01.06.2021 um 20:01

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