Klar ist \(\mathrm{Kern}(F)+\mathrm{Bild}(F)\subseteq V\), außerdem ist wegen \(\mathrm{Kern}(F)\cap\mathrm{Bild}(F)=\{0_V\}\) die Summe direkt, d.h. \(\mathrm{Kern}(F)+\mathrm{Bild}(F)=\mathrm{Kern}(F)\oplus\mathrm{Bild}(F)\) und mit dem Dimensionssätzen für direkte Summen und lineare Abbildungen (hier geht ein, dass \(V\) endlich erzeugt ist) folgt $$\dim_K(\mathrm{Kern}(F)\oplus\mathrm{Bild}(F))=\dim_K(\mathrm{Kern}(F))+\dim_K(\mathrm{Bild}(F))=\dim_K(V),$$ also ist \(\mathrm{Kern}(F)+\mathrm{Bild}(F)\subseteq V\) ein Unterraum mit gleicher Dimension und damit gilt bereits Gleichheit.