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Schönen Abend euch allen,
ich habe hier folgendes Integral gegeben und soll dort die Integrationsreihenfolge vertauschen, um es zu berechnen:
$$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{2x}^{2}e^{\frac{x}{y}}dydx$$

In unserer Übung haben wir dazu erstmal eine Menge $G$ aus den Grenzen der Integrale definiert:
$G:= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1, \quad 2x \leq y \leq 2 \}$
Ich habe mir die Menge mal hier in Geogebra gezeichnet: https://www.geogebra.org/calculator/cdj5nrvq

Dann haben wir eine Menge $G_y$ definiert als $G_y := \{x \in \mathbb{R}|(x,y) \in G \}$

Ich gehe mal davon aus, dass das die Schnittmenge darstellen soll, die in Geogebra so dunkelgrün gefärbt ist. Daraus haben wir dann ein wenig hokus-pokus-mäßig die neuen Grenzen der vertauschten Integrale abgeleitet.

Das ging bei uns in der Übung halt wirklich schnell und ich habe da nicht ganz verstanden. Wie komme ich denn jetzt auf $G_y$, also konkret: Was muss ich da ausrechnen, um an die entsprechenden $\{x \in \mathbb{R}|(x,y) \in G \}$ zu gelangen? Warum ergeben sich dann daraus die neuen Grenzen für das Integral?

Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte
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1 Antwort
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Es soll über G, die dunkelgrüne Fläche, integriert werden. Ausgangssituation war $x=0...2, y=2x...2$.
Mach Dir erstmal klar, dass dabei G in senkrechten Streifen überstrichen wird, und zwar komplett. Weil x läuft ja unabhängig von y, y (der senkrechte Streifen) hängt aber von x ab, läuft von der Geraden $y=2x$ bis oben zu $y=2$. Daher auch dydx, also dx außen.
Erst weiterlesen, wenn das soweit 100%ig verstanden ist.
Nun kann man G ja genauso auch in waagerechten Streifen durchlaufen. Dann ist y unabhängig von x, und der x-Bereich (der waagerechte Streifen), abhängig von y. Er läuft dann nämlich von $x=?$ bis $x=?$. Also? Kann man alles am Bild ablesen. Das ist die Integration dxdy, also dy außen.
Was erhälst Du hier als Grenzen?
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Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Ah ok, danke für die anschauliche Erklärung.
Ich komme auf folgende vertauschte Integrationsgrenzen:
$\int \limits_{0}^{2}\int \limits_{0}^{\frac{y}{2}}e^{\frac{x}{y}}dxdy$

Das Ergebnis von dem Integral stimmt auch mit der ursprünglichen Integrationsreihenfolge überein.

Die Menge $G$ war gegeben durch $G= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 |0≤x≤1, \quad 2x≤y≤2\} $

Ich bin auf die Grenzen von $y$ gekommen, indem ich den kleinsten Wert für $x$, also 0 eingesetzt habe, daraus ergab sich dann $0 \leq y \leq 2$.
Für die Grezen von x habe ich die Umkehrabbildung von der Funktion $y=2x$ gebildet.

Ich sage mal jetzt die die gegebene Fläche sieht ja recht schön aus und man kann sowas auch ganz gut ablesen. Funktioniert das ganze auch, wenn ich z.B. $G= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 |0≤x≤1, \quad 2x^2≤y≤2\} $ da stehen habe? Für eine Umkehrung der Reihenfolge würde ich dann wieder $0 \leq y \leq 2$ haben und halt $0 \leq x \leq \sqrt{\frac{y}{2}}$.
LG

  ─   hakn 25.06.2022 um 13:49

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Alles richtig. Funktioniert generell, wenn man die Fläche mit senkrechten und waagerechten Streifen durchlaufen kann. Aufpassen muss man bei der Umkehrfunktion, dass man den richtigen Teil erwischt, wenn Funktionen abschnittsweise definiert sind und noch in anderen Situationen. Daher immer: Skizze vorweg.   ─   mikn 25.06.2022 um 13:57

Vielen Dank für deine Hilfe, das hat mir weitergeholfen :D   ─   hakn 25.06.2022 um 14:25

Gerne, freut mich.   ─   mikn 25.06.2022 um 14:26

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