Stammfunktion von 1/x -> ist konstant?

Aufrufe: 40     Aktiv: 27.04.2021 um 13:19

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Hallo, 

die Stammfunktion der Funktion 1/x ist ja bekanntlich ln(x)

Laut den Potenzgesetzen kann man 1/x auch als x^-1 schreiben. Demnach würde man, um die Stammfunktion zu bilden, den Exponenten um 1 erhöhen, was x^0 ergibt. Das wiederum ist ja 1, also ein konstanter Wert.

Dass der Flächeninhalt bei einer Logarithmus-Funktion mit unterschiedlichen x-Werten aber nicht 1 bzw konstant sein kann, leuchtet ja auch ein... wie kann man also dieses Phänomen lösen? 
gefragt

Student, Punkte: 75

 

Die Identität \/\frac{1}{x}=x^{-1}\) ist kein Gesetz, sondern eine (sinnvolle) Definition   ─   gerdware 27.04.2021 um 13:19

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1 Antwort
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Die Potenzregel für die Stammfunktion ist bei \(x^{-1}\) eben nicht anwendbar. Das sieht man auch daran, wenn man die Regel vollständig durchführen würde. Da käme nämlich \(\frac10x^0\) raus, und durch \(0\) darf man nicht teilen. Deshalb gibt es eben die Sonderregel, dass eine Stammfunktion von \(x^{-1}\) der natürliche Logarithmus \(\ln x\) ist.
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Super, danke für die Aufklärung!

Und bei x^-2 bspw. gelten wieder die bekannten Potenzgesetze?
  ─   mathwork 27.04.2021 um 11:32

Genau, nur bei \(-1\) geht die Regel nicht.   ─   stal 27.04.2021 um 11:34

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