Teleskopsumme Beweis

Aufrufe: 81     Aktiv: 14.05.2021 um 21:28

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Hallo, 

habe folgende Reihe gegeben: 

\((2-2x) \sum_{k=0}^{n}x^k\)

Ich soll zeigen, dass diese Reihe eine Teleskopsumme ist. 

Meine Idee war es das \((2-2x)\) in die Summe hinzuziehen und durch \(k \) und \(k+1\) zu teilen \( \sum_{k=0}^{n}x^k \frac{2}{k}-\frac{2x}{k+1}\)

Oder muss ich den Term links von der Summe gar nicht betrachten und nur mit dem \(x^k\) auf die \(a_k - a_{k+1}\) Struktur kommen?

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Moin universeller.
Du kannst nicht einfach durch \(k\) bzw. \(k+1\) teilen, das ändert ja etwas am Wert der Summe.
Aber die Idee, \(2-2x\) in die Summe hereinzuziehen ist nicht schlecht. Du hast dich dabei nur vertan. Multipliziere \((2-2x)x^k\) doch ersteinmal ohne die Summe aus und baue das am Ende mit der Summe zusammen.

Grüße
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Danke, dann bin jetzt an diesem Punkt:

\(\sum_{k=0}^{n} 2x^k-2x^{k+1} = 2-2*2^{n+1}\)

Wäre der Beweis so abgeschlossen?

Hab für x 2 eingesetzt, da ich prüfen soll, ob die Reihe für x > 1 konvergiert. Was nicht der Fall ist, oder?
  ─   universeller 14.05.2021 um 10:35

Du musst dann aber in deiner Abgabe noch genau argumentieren, warum \(\displaystyle\sum_{k=0}^n 2x^k - 2x^{k+1}\) eine Teleskop-Summe ist. Du kannst nicht einfach 2 einsetzen, du musst das schon allgemein argumentieren.   ─   1+2=3 14.05.2021 um 11:15

Aber wär das nicht schon die allgemeine Form: \(2x^k-2x^{k+1}= 2-2x^{n+1}\) ?   ─   universeller 14.05.2021 um 13:22

Wie kommst du auf den Ausdruck rechts? Wohin verschwindet das \(x^k\)?
Ja das ist schon der Ausdruck, aber eine Begründung muss da trotzdem noch hin.
  ─   1+2=3 14.05.2021 um 13:25

Die Summe rechts kann man ja auf 2 Folgeglieder beschränken, wenn ich das richtig verstanden habe. k ist ja 0, also bleibt bei \(2x^k\) nur \(2\) übrig. Und - mit dem letzten Folgeglied \(2x^{n+1}\)   ─   universeller 14.05.2021 um 13:32

Ja genau, wenn du die Summe auswertest, bleibt das übrig!   ─   1+2=3 14.05.2021 um 15:33

Ok, danke dir :)   ─   universeller 14.05.2021 um 19:40

Gerne :)   ─   1+2=3 14.05.2021 um 21:28

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