Wie geht man hier vor?

Aufrufe: 68     Aktiv: 11.02.2021 um 17:12

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Wie viele Folgen der Länge 20 existieren, die nur die Zahlen 0 und 1 enthalten? Bei wie vielen davon stimmen die erste und die letzte Zahl überein? Wie viele existieren mit höchstens zwei Nullen? 

Beim ersten wäre meine Eingebung n!/k! also 20!/2! zu rechnen. Aber wie geht man an die anderen beiden fragen?
Und ist mein Ansatz überhaupt richtig?

Liebe Grüße

Jonas
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1 Antwort
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Überlege dir die Situation erstmal an einem kleineren Beispiel: Wie viele Folgen der Länge 3 gibt es, die nur die Zahlen 0 und 1 enthalten.

Für das erste Element hat man \(2\) Möglichkeiten. Das zweite Element kann man unabhängig vom ersten wählen und hat dabei wieder zwei Möglichkeiten, also bisher insgesamt \( 2\cdot 2\) Möglichkeiten. Dann kann man noch das dritte Element der Folge frei wählen und man kommt insgesamt auf \( 2\cdot 2\cdot 2 = 2^3=8\) Möglichkeiten:
\[ (0,0,0) \quad (0,0,1) \quad (0,1,0)\]
\[ (0,1,1) \quad (1,0,0) \quad (1,0,1) \]
\[ (1,1,0) \quad (1,1,1)\]

Kannst du das auf den ersten Aufgabenteil verallgemeinern?
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Student, Punkte: 585
 

Okay, danke für die Erklärung. Nun habe ich also 2^20 mögliche Folgen. Den zweiten Aufgabenteil könnte ich dann ja mit 2^20 durch 4 bekommen, wenn ich mich nicht schon wieder irre. Aber wie komme ich auf die Folgen, in denen höchstens 2 Nullen sind?
Liebe Grüße
  ─   jonasoppermann4 11.02.2021 um 14:54

Genau. Die \(2^{20}\) möglichen Folgen stimmen. Bei dem zweiten Teil musst du aufpassen. Das erste und letzte Element könnte \( (1, \dots ,1) \), \( (1, \dots ,0) \), \( (0, \dots ,1) \) oder \( (0, \dots ,0) \) sein.   ─   anonym42 11.02.2021 um 15:08

Eine andere Überlegung für den zweiten Aufgabenteil wäre der folgende: Wir betrachten zunächst alle Möglichkeiten bei denen das erste und das letzte Folgenglied jeweils die Null ist. Dann können wir die restlichen \(18\) Glieder frei wählen und erhalten \( 2^{18}\) Möglichkeiten. Dann betrachten wir die Möglichkeiten bei denen das erste und das letzte Folgenglied jeweils die Eins ist und wir bekommen nochmal zusätzlich \( 2^{18}\) Möglichkeiten.
Insgesamt erhalten wir \( 2^{18} +2^{18} = 2\cdot 2^{18} =2 ^{19} =\frac {2^{20}}2 \) Möglichkeiten.
  ─   anonym42 11.02.2021 um 15:25

Als Frage vorab für den dritten Teil der Aufgabe. Weißt du was ein Binomialkoeffizient ist?   ─   anonym42 11.02.2021 um 15:26

Ich sollte es wissen, muss aber gestehen, dass ich mir in der Anwendung meistens eher unsicher bin. Meistens benutze ich einfach die ncr Taste vom Taschenrechner.   ─   jonasoppermann4 11.02.2021 um 16:04

Also hätte ich 2^20 durch 4 geteilt, hätte ich nur die Folgen ,die mit 1 anfangen und enden bekommen. Ich glaube jetzt habe ich es verstanden :)
  ─   jonasoppermann4 11.02.2021 um 16:13

Dann zum dritten Teil der Aufgabe:
Es gibt genau eine Möglichkeit mit keiner Null.
Dann gibt es \(20\) Möglichkeiten mit genau einer Null, denn man kann diese eine Null an zwanzig verschiedene Stellen setzen.
Und nun stellt sich die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei Nullen auf die zwanzig Stellen aufzuteilen. Hier braucht man den Binomialkoeffizienten. Es sind nämlich genau
\[ \binom {20}{2} = \frac{20!}{2!\cdot 18!} \]
Möglichkeiten.
Insgesamt erhält man somit
\[ 1+ 20 + \binom{20}{2}\]
Möglichkeiten. Ich hoffe das hilft dir weiter.
  ─   anonym42 11.02.2021 um 17:12

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