Beweis $a<b$, auch $a^3 < b^3$

Erste Frage Aufrufe: 83     Aktiv: 30.10.2021 um 18:54

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Hallo, wie beweise ich die Ungleichung, dass wenn  ``` a < b ```,  auch ``` a^3 < b^3 ```  in einem angeordneten Körper? Vielleicht kann mir jemand schnell weiterhelfen :-)
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Hallo,

ich würde den Beweis in 3 Fälle aufteilen. Einmal $a$ und $b$ sind beide nichtnegativ ($a,b\geq 0$). Dann $a$ ist negativ ($a<0$) und $b$ positiv ($b\geq 0$). Und als letztes, dass beide negativ sind ($a,b<0$). 
Hast du eine Idee warum das Sinn macht? Bei welcher Rechnung in einer Ungleichung ist es wichtig zu unterscheiden, ob eine Zahl negativ oder nichtnegativ ist?
Dann fang immer bei $a<b$ an. Wie könntest du mit dieser Rechnung nun die Ungleichung manipulieren, um deinem Ziel näher zu kommen? Ideen?

Grüße Christian
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Aufbauend auf den guten Hinweisen von christian_strack bleibt noch einiges zu tun. Die Schwierigkeit ist, dass man die Beweisführung strenggenommen (ich setze Hochschulniveau voraus) nur auf den Axiomen des angeordneten Körpers aufbauen darf. Und da gibt es bei den Anordnungsaxiomen leider viele Axiomensätze! Ich gehe mal von den üblichen 4 bis 5 Axiomen aus:

         wobei das v mit Punkt bedeutet: entweder oder

Außerdem muss man auch a = 0 und b = 0 extra unterscheiden. Ich zeige mal den Weg auf:

Voraussetzung: a < b

1. Fall: a,b > 0:      a < b | \cdot b
                              ab < b^2
                              a < b | a \cdot
                              a^2 < ab
                also:      a^2 < ab < b^2   also a^2 < b^2          

usw.

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Den Fall $a=b=0$ muss man nicht betrachten, da $a< b$ die Voraussetzung ist. :)
Auch wenn $a=0$ müssen wir denke ich nicht extra zeigen, denn ist $a=0$ in deiner Beweisführung, dann ist $ab < b^2$ trotzdem korrekt, da $b\neq 0$.
Der zweite Teil ergibt dann $a < b | \cdot a \Rightarrow a^2 \leq ab$
Dann haben wir insgesamt
$$ a^2 \leq ab < b^2\Rightarrow a^2 < b^2 $$
Von da kann man dann weiter machen. Es muss also nicht zwingend der Nullfall einzelnd betrachtet werden.
  ─   christian_strack 30.10.2021 um 16:19

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