Hallo,

ich würde den Beweis in 3 Fälle aufteilen. Einmal $a$ und $b$ sind beide nichtnegativ ($a,b\geq 0$). Dann $a$ ist negativ ($a<0$) und $b$ positiv ($b\geq 0$). Und als letztes, dass beide negativ sind ($a,b<0$). 
Hast du eine Idee warum das Sinn macht? Bei welcher Rechnung in einer Ungleichung ist es wichtig zu unterscheiden, ob eine Zahl negativ oder nichtnegativ ist?
Dann fang immer bei $a<b$ an. Wie könntest du mit dieser Rechnung nun die Ungleichung manipulieren, um deinem Ziel näher zu kommen? Ideen?

Grüße Christian

Aufbauend auf den guten Hinweisen von christian_strack bleibt noch einiges zu tun. Die Schwierigkeit ist, dass man die Beweisführung strenggenommen (ich setze Hochschulniveau voraus) nur auf den Axiomen des angeordneten Körpers aufbauen darf. Und da gibt es bei den Anordnungsaxiomen leider viele Axiomensätze! Ich gehe mal von den üblichen 4 bis 5 Axiomen aus:

         wobei das v mit Punkt bedeutet: entweder oder

Außerdem muss man auch a = 0 und b = 0 extra unterscheiden. Ich zeige mal den Weg auf:

Voraussetzung: a < b

1. Fall: a,b > 0:      a < b | \cdot b
                              ab < b^2
                              a < b | a \cdot
                              a^2 < ab
                also:      a^2 < ab < b^2   also a^2 < b^2          

usw.