Finite definite Binary Quadratic Forms

Aufrufe: 141     Aktiv: 26.12.2023 um 20:07

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Hey:)
In diesem Buch definieren Sie positive definite wenn die diskriminante (big delta) negative ist. Und sagen dann dass es nur endlich viele representationen von integer m gibt. Alle variabeln sind ganze Zahlen.
Ich kann aber nicht verstehen wieso.

Vielen Dank für die Hilfe.
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Student, Punkte: 99

 
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Falls $\Delta <0$, so folgt aus $-\Delta y^2 \le 4am$, dass $|y|\le k$ für ein gewisses $k>0$. Damit gibt es für $y$ nur endlich viele Möglichkeiten und damit nur endlich viele Repräsentationen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.16K

 

Ah danke vielmals:)
  ─   par-fait 26.12.2023 um 18:28

Noch eine kleine Frage: bei den indefiniten formen haben wir unendlich viele representationen, ist das weil wir dann nichts über die "signs" von a und m sagen können?   ─   par-fait 26.12.2023 um 18:40

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Mal geordnet: Vorgegeben ist ja $a,b,c,m$. Gesucht ist $x,y$. Wenn $\Delta>0$ ist, ist $4am$ die Differenz zweier positiver Terme, da kann der eine beliebig groß werden, weil der andere ihn wieder einfängt (was bei der Summe zweier positiver Terme nicht geht). Daher könnte es hier auch unendlich viele Möglichkeiten geben. Dass es wirklich unendlich viele gibt, wird ja später gezeigt (laut Ankündigung).   ─   mikn 26.12.2023 um 18:51

ja genau, danke nochmals und ein schönen Abend:)   ─   par-fait 26.12.2023 um 20:07

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