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Hallo, ich hab hier eine etwas schwierigere Aufgabe aus der Numerik.
Die (a) habe ich soweit gelöst.
Bei der (b) würde ich erst zeigen, ob die Matrix M aus (a) eine Kontraktion ist, wobei ich nicht weiß wie ich das angehen soll.
Bei der (c) fehlt mir tatsächlich jegliche Idee.
Kann mir jemand helfen?

Gegeben sei ein lineares System in der Blockform
              ( A1   B )       *   (x,y)t    =   (b1,b2)t           => soll eine Matrix sein
              ( B     A2 )             



mit A1,A2,B ∈ R^(n×n) und x,y,b1,b2 ∈ R^(n). Betrachten Sie die folgenden iterativen Methoden,
bestimmt durch die Vorschriften:
(i) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k) + A2*y^(k+1) = b2,
(ii) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k+1) + A2*y^(k+1) = b2.

 

(a) Schreiben Sie für beide Methoden den Iterationsschritt in der Form                

(x^(k+1) , y^(k+1))t =  M * (x^(k) ,y^(k))t + b

 

für eine geeignete Matrix M ∈R^(2n×2n) und einen geeigneten Vektor b ∈R2n und bestim-
men Sie jeweils die notwendigen Eigenschaften von A1,A2 und B, so dass er durchführbar
ist.
(b) Zeigen Sie, dass der Fixpunkt (x(∞),y(∞))t der Iterationsvorschrift (falls vorhanden)
jeweils eine Lösung des Gleichungssystem ist.

(c) Finden Sie für jede Methode hinreichende Bedingungen an die Spektralradien der invol-
vierten Matrizen für die Konvergenz

 

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Zu b) Du weißt, was "Fixpunkt" bedeutet? In diesem Fall: $z = M\,z +b$ (Bezeichnungen wie in a)). Daraus muss dann $Az=b$ gefolgert werden. $A$ ist die Matrix aus de Aufgabenstellung. Also: aufteilen $z=(x,y)^T$, einsetzen, umstellen. Probier's aus!
Zu c) Das hängt davon ab, welche Formeln für den Spektralradius bekannt sind. Lass mal hören.
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Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!
Sorry für die Nachfrage, du meinst schon z=Mz+b in Az=b mit z=(x,y)^t einsetzen oder?

Und für den Spektralradius ist folgendes alles, was wir dazu hatten:
p(M) ist Spektralradius
p(M)=max{|k|: k ist komplexer EW von M}
p(M)=inf{||M||op :||.||op ist induzierte Operatornorm auf C^(nxn)
  ─   user7be8f1 30.08.2021 um 19:56

nochmal zu (b), für (i) habe ich es geschafft, aber für (ii) bekomme ich es nicht anständig umgeformt, kann es sein, dass es für (ii) gar keinen solchen Fixpunkt gibt und falls ja wie kann ich das zeigen?   ─   user7be8f1 30.08.2021 um 20:49

zu b) Vermutlich ist Dein M für (ii) nicht richtig. Fixpunkt bedeutet auch x^(k)=x^(k+1), analog mit y. Wenn man das in (i) und (ii) benutzt, sieht man (!!, ohne zu rechnen!), dass das LGS für den Fixpunkt erfüllt ist. Probier das aus. Ich meinte z=(x,y)^T einsetzen, dann umstellen. Nicht eine Gleichung in die andere einsetzen (nur, wenn man's lieber kompliziert statt einfach mag).
zu c) Wie sehen Deine beiden M's aus?
  ─   mikn 30.08.2021 um 21:31

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Ich habs hinbekommen, danke!   ─   user7be8f1 31.08.2021 um 14:26

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