Definitionsbereich/Wertebereich/Nullstellen

Aufrufe: 1052     Aktiv: 05.03.2020 um 15:55

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Zudem bräuchte ich bitte einen Ansatz zu dieser Funktion, hier komm ich gar nicht voran leider. Als hinweis wird gegeben, dass man den Wertebereich mit der Umkehrfunktion berechnen kann.
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1 Antwort
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Zum Definitionsbereich: in dem Term taucht ein Bruch auf, dessen Nenner darf nicht 0 sein, also schonmal \(x\neq0.\) Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert, also brauchen wir \(\frac{x+1}{x}>0\Longrightarrow x+1>0\Longrightarrow x>-1.\) Die Definitionsmenge ist folglich \(]-1;\infty[\ \backslash\{0\}\).

Wenn wir den Wertebereich über die Umkehrfunktion bestimmen sollen, dann müssen wir diese erst mal bestimmen. Dazu setzen wir an \(x=f(y)\) und lösen nach \(y\) auf. Du solltest auf \(f^{-1}(x)=\frac1{e^x-1}\) kommen. Die Wertemenge der ursprünglichen Funktion ist die Definitionsmenge der Umkehrfunktion. Bei \(f^{-1}\) taucht ein Bruch auf, dessen Nenner darf nicht 0 werden, also \(e^x-1\neq0\Longrightarrow x\neq0.\) Folglich ist die Wertemenge \(\mathbb R \backslash\{0\}\).

Da die 0 nicht Teil der Wertemenge ist, gibt es keine Nullstelle.

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Vielen vielen Dank!   ─   thal 05.03.2020 um 15:16

Könnten Sie eventuell noch einmal erläutern wie sie auf die Umkehrfunktion gekommen sind?
'ln' bekomme ich ja aufgehoben indem ich 'e' verwende. Jedoch ist mir dann nicht klar, wie sie auf den Bruch kommen..
  ─   thal 05.03.2020 um 15:35

\(x=\ln\frac{y+1}{y}\Longrightarrow e^x=\frac{y+1}{y}=1+\frac1y\Longrightarrow \frac1y=e^x-1\Longrightarrow y=\frac1{e^x-1}\)   ─   sterecht 05.03.2020 um 15:49

Super, besser kann man es nicht erklären. Dankeschön   ─   thal 05.03.2020 um 15:55

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