Zum Definitionsbereich: in dem Term taucht ein Bruch auf, dessen Nenner darf nicht 0 sein, also schonmal \(x\neq0.\) Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert, also brauchen wir \(\frac{x+1}{x}>0\Longrightarrow x+1>0\Longrightarrow x>-1.\) Die Definitionsmenge ist folglich \(]-1;\infty[\ \backslash\{0\}\).

Wenn wir den Wertebereich über die Umkehrfunktion bestimmen sollen, dann müssen wir diese erst mal bestimmen. Dazu setzen wir an \(x=f(y)\) und lösen nach \(y\) auf. Du solltest auf \(f^{-1}(x)=\frac1{e^x-1}\) kommen. Die Wertemenge der ursprünglichen Funktion ist die Definitionsmenge der Umkehrfunktion. Bei \(f^{-1}\) taucht ein Bruch auf, dessen Nenner darf nicht 0 werden, also \(e^x-1\neq0\Longrightarrow x\neq0.\) Folglich ist die Wertemenge \(\mathbb R \backslash\{0\}\).

Da die 0 nicht Teil der Wertemenge ist, gibt es keine Nullstelle.