Topologische Begriffe, Metrik, Mengen

Aufrufe: 99     Aktiv: 07.12.2022 um 00:14

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Hi, ich wollte mal nachfragen, ob ich die a) und b) richtig habe. Bei a) habe ich für die Menge der inneren Punkte: (0,1), für die Menge der äußeren Punkte: (1,unendlich) und für den Rand: {0}u{1}.

bei der b) habe ich für die Menge der inneren Punkte: (-1,1), für die Menge der äußeren Punkte: (-unendlich,-1)u(1,unendlich) und für den Rand {-1}u{1}.
(Die runden Klammern sollen die jeweiligen Randzahlen ausschließen also wie ][)
vielen Dank im Voraus!

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Bei a) stimmen die äußeren Punkte nicht und b) ist ganz falsch. Beachte, dass in b) die Menge eine Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ ist und deine Punkte somit nicht in Intervallen aus $\mathbb{R}$ liegen können.
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Selbstständig, Punkte: 26.73K

 

Danke für die Antwort, wären in a) die äußeren Punkte (-unendlich,0)u(1,unendlich). Ich kann mir irgendwie gar nicht vorstellen, wie man da eine Menge für den R^n angeben soll, hätten Sie vielleicht einen Tipp?   ─   userff1974 06.12.2022 um 22:13

a) stimmt jetzt. Man nennt die Menge $B_1^n(0)$ auch Ball mit Radius 1 um den Ursprung. Für $n=2$ und $n=3$ kann man sich das auch noch vorstellen. Für $n>3$ nicht mehr. Versuche es also erstmal für $n=2$ und $n=3$ und versuche es dann für allgemeines $n$ zu übertragen.   ─   cauchy 06.12.2022 um 22:16

Liege ich falsch, oder müsste die Menge der inneren Punkte dann einfach das sein, was bei b) in den geschweiften Klammern steht, und bei den äußeren Punkten einfach das kleiner Zeichen umgedreht und beim Rand anstelle des < ein = ?   ─   userff1974 06.12.2022 um 22:48

So passt es. :)   ─   cauchy 06.12.2022 um 22:51

Vielen Dank für die Hilfe ! :)   ─   userff1974 06.12.2022 um 22:57

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Du kannst sie deshalb nicht vollständig richtig haben, weil Du keine Begründungen gibst. Und darauf kommt es hier ja an.
Die Angabe von inneren und Rand ist für a) richtig, für das äußere fehlt noch was.
Für b) aber nicht, schon weil Du ja im falschen Raum bist.
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Danke für die Antwort, würde es als Begründung reichen, wenn ich einen epsilon Ball B(x,e) = (-e+x, x+e) um wichtige Punkte konstruiere und dann ein Intervall aus dem epsilon Ball angebe, indem die Zahlen bei beliebig kleinem epsilon z.B. außerhalb der Menge liegen und eines für das die Zahlen innerhalb der Menge liegen (für die randpunkte), und für äußere Punkte z.b. nur außerhalb, und analog für das Innere ?   ─   userff1974 06.12.2022 um 22:18

Intervalle existieren im $\mathbb{R}^n$ nicht. Pass hier auf mit den Begriffen.   ─   cauchy 06.12.2022 um 22:39

Ok, vielen Dank, aber wäre diese beweisstragegie so richtig?   ─   userff1974 06.12.2022 um 22:43

Benutze "Umgebung" anstelle "Intervall", dann passt es (halbwegs). Deine Begründung ist vermutlich ausführlicher als erwartet wird, aber von der Idee her ok. Ich würde für a) einfach "sagen", dass es diese Umgebungen für Punkte in $(0,1)$ gibt, daher dass das Innere ist. Und damit "offensichtlich" $\{0,1\}$ der Rand und (wg Aufgabe 3a) alles andere dann das Äußere.   ─   mikn 06.12.2022 um 23:24

Danke für Ihre Hilfe! :)   ─   userff1974 07.12.2022 um 00:14

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