Beweisen (Widerspruchsbeweis) (Beispiel)

Aufrufe: 89     Aktiv: 26.06.2021 um 11:40

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Mir fehlt leider der letzte Schritt den Widerspruchsbeweis komplett zu verstehen, dh ich versuche momentan mir die Beweise zu merken, allgemein verstehe ich, wie ein direkter Beweis, indirekter Beweis (aus nicht B => nicht A) und die vollständige Induktion.
Passend zu einem Beweis der Linearkombinationen, der besagt, eine Menge von Vektoren M ist linear unabhängig, wenn keiner dieser Vektoren durch die Linearfaktoren der anderen ohne diesem Vektor erzeugt werden kann.
Analog gilt, eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, genau dann, wenn die einzige Möglichkeit den Nullvektor jene der trivialen Koeffizienten (alle = 0 ist)
Durch genau dann, sind zwei Richtungen zu zeigen.
(1) (=> hinreichend) Wenn eine Menge von Vektoren M linear unabhängig ist, kann der Nullvektor nur mit der trivialen Linearkombination dargestellt werden
(2) (<= notwendig) Wenn der Nullvektor nur mit der trivialen Linearkombination  der Menge M dargestellt werden kann, so ist die Menge M linear unabhängig.


Beweis:
(1)Annahme: Eine Menge von Vektoren M ist linear abhängig ; alle Koeffizienten sind aber trotzdem 0 (reducto ad absurdum)
d.h. v1 = Lambda2 v2 + ....... + Lambda n vn d.h. aber nach umformen, dass mindestens einer (nämlich v1 != null ist)
Ok,
dh ich weiß jetzt, dass wenn eine Menge von Vektoren M linear abhängig ist, dann sind nicht alle Möglichkeiten den Nullvektor darzustellen jene, über die triviale Linearkombination.
(d.h. ein Sozusagen Widerspruch Beweis 1 => 0 ? diese Implikation wäre falsch)

(2) Annahme der Nullvektor mit nicht trivialer Linearkombination, d.h. Lambda 1 * v1 + ...... + Lambda n * vn d.h. nach Umformen v1 = .... (d.h. diese Menge M ist nicht linear unabhägnig)

Den Beweis selbst zu merken und durchzuführen, ist, also nicht das große Problem ich verstehe jedoch nicht, was genau passiert. Nimmt man das Gegenteil an, und schaut dann, wo hin das führt, das führt dort hin, wo es nicht hinführen soll (z.B. bei 2 ist nicht linear unabhängig), heißt das dann aber, dass die Annahme invertiert werden muss, um z.B. bei 2 zu linear unabhängig zu kommen.

Weil z.B.
Wenn du dein Zimmer aufräumst, bekommst du ein Eis.
Annahme: Du räumst dein Zimmer nicht auf => du bekommst kein Eis, dh aber nicht, dass wenn du dein Zimmer aufräumst ein Eis bekommst, oder doch?
1 0 0
1 1 1
0 0 1
0 1 1
Was würde das vor allem anhand der Wahrheitstafel bedeuten?
Und obwohl ich mittlerweile 2x das Buch Mathematisches Denken gelesen habe und die meisten Beweise verstehe fehlt mir diese letzte Logische Schritt, ich hoffe daher, dass mir jemand helfen kann, da mich dieses Thema schon die längste Zeit beschäftigt & natürlich auch Sorgen bereitet, denn man möchte alles zu 100% verstehen, vor allem, wenn man so viel Zeit ins Studium investiert.

Daher vielen, vielen lieben Dank für eure Hilfe :)


ps.: ich nehme als Tags direkter, indirekter Beweis usw., obwohl ich diese ja verstehe (wenn 1 => 1; wenn nicht(B)= > nicht(A) ), da ich einen Tag nehmen muss und reinen Beweis oder Widerspruchsbeweis gibt's leider nicht :)
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In der Aussagenlogik gelten folgende Regeln:
\(A\to B\iff \overline A \cup B\)
\(\overline B\to A\iff \overline {\overline B} \cup \overline A=B\cup \overline A\)
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