Bild ist nun sichtbar. Für $x(\tau)$ darf man nichts konkretes einsetzen, denn die Funktion $x$ ist ja gesucht.
Ich gehe mal davon aus, dass $\sigma$ die Sprungfunktion (Heaviside-Funktion) ist.
Leite die Gleichung nach $t$ ab. Dann verschwindet das Integral und man erhält eine einfache Dgl 2. Ordnung. Dann braucht man noch einen zweiten Anfangswert, am einfachsten $x'(0)$, was man aus der ursprünglichen Gleichung erhält. Geht dann relativ leicht durch.