Sigma Algebra

Aufrufe: 119     Aktiv: 18.11.2020 um 15:49

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Hallo, Kann mir jemand erklären warum die Menge C = { A ⊂ ℕ | A endlich oder Aᶜ endlich} keine σ-Algebra ist? 

Also eine Sigma Algebra enthält die Grundmenge (bzw. die leere Menge) ist stabil über Komplementbildung und stabil über abzählbaren Vereinigungen. 

Wenn ich jetzt in C zum Beispiel die Menge {2,1} habe, dann ist deren Komplement {3,4,...} die nicht endlich ist, also nicht in C. Ist deswegen C keine Sigma Algebra?  Im Buch steht es ist keine Sigma Algebra wegen der dritten Eigenschaft (Vereinigungsstabil). Als solche müsste sie jede Teilmenge von ℕ enthalten, also gleich die Potenzmenge sein. Die Menge der geraden Zahlen liegt aber nicht in C. 

Warum müsste C, um eine Sigma Algebra zu sein, jede Teilmenge von ℕ enthalten? 

Danke

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Dein erstes Argument stimmt nicht, denn sowohl \(\{1,2\}\) als auch \(\{3,4,\dots\}\) gehören zu \(C\).  Die zweite Menge hat ja ein endliches Komplement.

Alle einelementigen Mengen gehören zu \(C\).  Da alle Teilmengen von \(\mathbb{N}\) abzählbar sind, kann man jede Teilmenge von \(\mathbb{N}\) als abzählbare Vereinigung von einelementigen Mengen schreiben.  Nach der Vereinigungsstabilität müsste also jede Teilmenge von \(\mathbb{N}\) in \(C\) liegen, wenn \(C\) eine \(\sigma\)-Algebra wäre.  Dass dem nicht so ist, hast Du ja schon erwähnt; also ist \(C\) keine \(\sigma\)-Algebra.

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Danke, hab's jetzt verstanden.   ─   h1tm4n 18.11.2020 um 15:49

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