Kurvendiskussion - Berechnung von Extremwerten und Wende-/Satellpunkt

Erste Frage Aufrufe: 61     Aktiv: 31.08.2021 um 20:30

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Hallo zusammen,

ich soll die folgende Funkion auf Extremwerte, sowie Wende-/Sattelpunkt untersuchen.
f(x)= x³-6x²+12x-8

Zuerst habe ich die Ableitungen gebildet:

f´(x)= 3x²-12x+12
f´´(x)= 6x-12
f´´´(x)= 6

Extremwerte

NB: f´(x) = 0

3x²-12x+12 = 0      | : 3
x²-4x+4

Mit der P/Q Formel komme ich dann auf die Werte:

x1= 2
x2= 2

HB: f´´(x)  ungleich 0

f´´(2) = 6x2-12
Als Ergebnis habe ich da 0

Wendepunkt

NB: f´´(x)= 0
6x-12 = 0  |+12
6x= 12      | : 6
x = 2

HB: f´´´(x) ungleich 0
f´´´(x) = 6

Meine Fragen:

- Ist es richtig, dass ich die Extremwerte mit x1 und x2 = 2 beschrifte oder wie wäre es formal richtig?
- Da bei den Extremwerten bei der HB f´´(x) = 0 ist deutet das auf einen Sattelpunkt?
- Woran erkenne ich bei der Berechnung des Wendepunkts, ob es ein Sattelpunkt ist?

Mit dem Wendepunkt bei anderen Funktionen habe ich kein Problem, aber mit dem Sattelpunkt.
Mir ist nicht klar woran ich es erkenne und wie ich das dann korrekt beschreibe in der Klausur.

Vielen Dank für eure Hilfe.
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1 Antwort
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Moin,
wenn der x-Wert derselbe ist handelt es sich nur um ein Extremum, \(x_1\) reicht also. Wenn es nur ein Extremum bei einem kubischen Polynom gibt, ist das immer ein Sattelpunkt, dein HB weist außerdem darauf hin.
LG
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Student, Punkte: 1.05K

 

Vielen Dank! Um es genau zu prüfen, ob es sich um einen Sattelpunkt handelt muss ich dann den Wert aus der Berechnung des Wendepunkts dann noch in die 1. Ableitung setzen oder? Da dieser dann 0 ergibt, handelt es sich tatsächlich, um einen Sattelpunkt?   ─   user7a9df2 31.08.2021 um 19:34

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ja, das hast du doch aber schon bei den Extremwerten gesehen?!   ─   fix 31.08.2021 um 19:40

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Die Aussage ist etwas irreführend bzw. mathematisch inkorrekt. Gemeint ist: Gibt es nur ein $x$ mit $f'(x)=0$ bei einer Funktion 3. Grades, so muss an der Stelle $x$ ein Sattelpunkt vorliegen. Sattelpunkte sind nämlich Wendepunkte und keine Extrema!

Der Beweis ist auch relativ einfach:
Die Ableitung von $f$ ist eine Parabel. Da diese Parabel nur eine Nullstelle besitzt, muss sie die $x$-Achse berühren. Dass bedeutet aber $f'\geq 0$ oder $f'\leq 0$. Damit wäre $f$ streng monoton wachsend bzw. fallend und kann daher keine Extrempunkte besitzen.
  ─   cauchy 31.08.2021 um 19:53

-_-   ─   fix 31.08.2021 um 20:30

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