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Die Definition zur gleichmäßigen Stetigkeit von fn = Für alle e >0 existiert ein NeN, für alle n>=N, für alle xeD: /fn-f/<Epsilon. Für die gleichmäßige Stetigkeit von g gilt für alle e>0 existiert ein d>0 für alle xeD:/x-x0/<d dann folgt /g(x)-g(x0)/<e

Der Ansatz wäre /g(fn(x))-g(f(x))/<e für alle xeD. Müssen nun /fn(x)-f(x)/<d sein, quasi als /x-x0/ der Stetigkeit von g?
Ich habe leider keine Idee wie ich vorzugehen habe nun, da es sich nicht um zwei Funktionenfolgen handelt, sondern um eine Funktion und einer Funktionsfolge.

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Dein Ansatz ist sehr gut und Du bist schon fast fertig. Beweisskizze (ausführlich darfst Du es selbst machen).
Sei $\varepsilon>0$. Dann gibt es $\delta>0$ so, dass $|g(u)-g(v)| <\varepsilon$, falls $|u-v|<\delta$, da $g$ glm stetig ist. Wenn Du es nun schaffst, das für $u=f_n(x)$ und $v=f(x)$ zu benutzen und dabei ein $N$ garantieren kannst, so dass das für $n\ge N$ gilt und für alle $x$, dann bist Du fertig.
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Sei ε>0. Dann gibt es δ>0 so, dass |g(u)−g(v)|<ε, falls |u−v|<δ, da g glm stetig ist. Definiere nun fn(x)u und f(x)=v, sodass |fn(x)−f(x)|<ε welches erfüllt ist, da es als gleichmäßig stetig definiert ist. Da |u−v|<δ gilt ist |u−v|=|fn(x)−f(x)|<δ<ε. Somit gilt |g(u)−g(v)|=|g(fn(x))−g(f(x))| Sei nun N<=n, dann ist |g(fn(x))−g(f(x))|<|g(fN(x))−g(f(x))|<|g(δ)−g(δ)|=0<ε
Somit ist die gleichmäßige Konvergenz von fogn nach gof gesichert.

Ist dies richtig?
  ─   viola333 30.07.2021 um 09:34

Da sind noch logische Lücken. Die logische Abfolge muss sein: Sei $\varepsilon>0$ (haben wir)... (evtl Zwischenüberlegungen)... nun muss N gewählt werden. Dann geht es weiter, dann kommt irgendwann x. Das N kommt bei Dir zu spät. Es wird vorher gebraucht. Siehst Du wo es ins Spiel kommt?
Also kurz: logisch genau wie in der zu zeigenden Behauptung: $\varepsilon.... N... x$.
Das mit u und v war nur als eine Hilfe für die Struktur gedacht, u und v müssen nicht im Beweis vorkommen.
  ─   mikn 30.07.2021 um 13:50

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