Begründung zur falschen Anwendung einer Wurzelziehung

Aufrufe: 341     Aktiv: 17.09.2022 um 13:05

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Guten Morgen allerseits,

ich hätte da eine Frage bezüglich der Formelumstellung beim Satz des Pythagoras.

Mir ist bewusst, dass wenn ich (6 -xr)² +3² = (xr +3)² nach xr umstellen möchte, zunächst die Klammern ausfaktorisieren müsste.. 
"xr" soll hier einfach eine Strecke sein und nicht aus zwei Variablen bestehen.

Also:
36 -6xr -6xr +xr² +9 = xr² +3xr +3xr +9 --> 36 -12xr +xr² +9 = xr² +6xr +9
36 -12xr +9 = 6xr +9
36 = 18xr
2 = xr

Nun stelle ich mir folgende Frage, warum es denn nicht möglich sei, einfach die Wurzel zu jeden Summanden zu ziehen, sprich:

√(6 -xr)² +√3² = √(xr +3)² wäre doch demnach dann (6 -xr) +3 = xr +3, da die Wurzel den Exponenten doch dann auflöst, oder?

Also wäre:
(6 -xr) +3 = (xr +3)
6 -xr +3 = xr +3
6 = 2xr
3 = xr

Im Endeffekt kommt da ja trotzdem ein falsches Ergebnis raus, denn durch das Ausfaktorisierungsverfahren kriege ich ja ein anderes raus, nämlich 2, was korrekt ist..

Es fängt ja schon damit an, dass der Ausdruck 6 -xr +3 = xr +3 ein komplett anderer ist als (6 -xr)² +3² = (xr +3)²..
Sind vielleicht die besagten Klammern mein Denkfehler, dass ich diese nach Auflösung der Hochzahl nicht wegnehmen darf?

Übersehe ich gerade eine Wurzelgesetzmäßigkeit oder ist es auf diese Weise nicht möglich und Ausfaktoriseren ist der einzige Weg dafür?
Mir geht es jetzt primär um das mathematische Verständnis dafür, damit ich nicht spontan auf solche Idee kommen einfach daraus die Wurzel ziehen zu wollen, denn sobald man ja sowas wie:

x² = 81
x = 9

hat, ist es ja okey, die Wurzel auf beiden zu ziehen.
Warum dann nicht auch, wenn ich es bei der obigen Gleichungen einfach an jeden Summanden anwende?

Sorry, für die Nachbearbeitung, erst jetzt gemerkt, dass ich ein "Vorzeichen-Dreher" hatte..

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Es ist im Allgemeinen \(\sqrt{a+b}\not = \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
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Ein wenig bin ich noch verwirrt, denn wenn ich die Wurzel in Potenzschreibweise angeben würde, wäre es doch (x²)^½; also hoch ½ oder?

2/1 * 1/2 wäre dann ja 1, deswegen dachte ich, es wäre dann x^1, also einmal x.

Wofür standen nochmals die beiden Striche an der Seite von x? War doch Betrag, oder? Betrag von was?
  ─   user6e67e1 17.09.2022 um 13:00

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