Reihen folgerung

Erste Frage Aufrufe: 59     Aktiv: 13.05.2021 um 16:43

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 diese implikation gilt es zu beweisen. ich habe schon ein wenig getüftelt und bin mit majoranten krit. unter anderem nicht wirklich vorrangekommen. ich vermute, dass hier das wurzelkriterium eine rolle spielen wird aber habe keinen wirklich ansatz wo ich hier genau anfangen soll. ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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Zeige zuerst mit dem Majorantenkriterium, dass \(\sum_{k=1}^\infty(a_k-1)^2\) absolut konvergiert. Wegen der absoluten Konvergenz können wir die Reihe dann beliebig umsortieren und erhalten $$\sum_{k=1}^\infty(a_k-1)^2=\sum_{k=1}^\infty(a_k^2-2a_k+1)=\sum_{k=1}^\infty(a_k^2-1)-2\sum_{k=1}^\infty(a_k-1)$$ Daraus kannst du die Behauptung folgern.
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ich genie hatte natürlich vergessen zu erwähnen dass ak >= 1 sein soll würde das dann immer noch mit dem majoranten kriterium funktionieren?(zumindest geht es bei mir wenn ich nicht komplett daneben liege bei ak > 1 kaputt)   ─   anonym 13.05.2021 um 16:35

Da \((a_k-1)_k\) gegen \(0\) konvergieren muss, sind schließlich alle dieser Folgenglieder kleiner als \(1\) und deshalb gilt \((a_k-1)^2\leq(a_k-1)\) für schließlich alle \(k\), was für das Majorantenkriterium genügt. Warum meinst du denn, dass da was schiefgeht?   ─   stal 13.05.2021 um 16:43

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