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Zeige zuerst mit dem Majorantenkriterium, dass \(\sum_{k=1}^\infty(a_k-1)^2\) absolut konvergiert. Wegen der absoluten Konvergenz können wir die Reihe dann beliebig umsortieren und erhalten $$\sum_{k=1}^\infty(a_k-1)^2=\sum_{k=1}^\infty(a_k^2-2a_k+1)=\sum_{k=1}^\infty(a_k^2-1)-2\sum_{k=1}^\infty(a_k-1)$$ Daraus kannst du die Behauptung folgern.
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stal
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ich genie hatte natürlich vergessen zu erwähnen dass ak >= 1 sein soll würde das dann immer noch mit dem majoranten kriterium funktionieren?(zumindest geht es bei mir wenn ich nicht komplett daneben liege bei ak > 1 kaputt)
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anonym79095
13.05.2021 um 16:35
Da \((a_k-1)_k\) gegen \(0\) konvergieren muss, sind schließlich alle dieser Folgenglieder kleiner als \(1\) und deshalb gilt \((a_k-1)^2\leq(a_k-1)\) für schließlich alle \(k\), was für das Majorantenkriterium genügt. Warum meinst du denn, dass da was schiefgeht?
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stal
13.05.2021 um 16:43