Wie löst man diese Aufgabe zur Fourier Reihe

Erste Frage Aufrufe: 281     Aktiv: 05.07.2023 um 16:02

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Hallo liebe Menschen da draußen,

ich benötige dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich habe mir Formeln und auch auf YouTube Videos angeschaut und trotzdem stehe ich auf dem Schlauch und kann die Aufgabe nicht lösen. Ich bitte um jede Hilfe. 🙏
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Zu Punkt a): Was weißt du über die Konvergenz der Fourierreihe von einer Funktion $f$ an Unstetigkeitsstellen? Tipp: Es hat was mit dem arithmetischen Mittel $\frac{a+b}{2}$ zu tun 

Zu Punkt b) Nehmen wir mal an, die Partialsummen der Fourierreihe, welche alle steitgen Funktionen sind, konvergiert gleichmäßig auf ganz $\mathbb{R}$. Welche Eigenschaft muss dann die Grenzfunktion erfüllen, die $f$ nicht hat?

Zu Punkt c) Gebe mir doch mal deine Definition von Fourierkoeffizienten und setze in das Integral ein. Vereinfache ein wenig und sag mir doch mal, was dabei rauskommt.

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Punkte: 492

 

Vielen Dank für den Tipp. a) Um die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergieren zu lassen, müssen die Funktionenwerte an den Punkten \( x=-\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \) so definiert sein, dass sie den Mittelwert dieser Punkte ergeben, da \( f \) eine periodische Funktion ist.
Der Mittelwert von \( \alpha_{0},-1 \) und \( \beta_{0} \) ist:
Mittelwert \( =\frac{\alpha_{0}+(-1)+\beta_{0}}{3} \)
Um die Konvergenz der Fourier-Reihe zu gewährleisten, muss \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right), f(0) \) und \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \) gleich diesem Mittelwert sein:
\(
\begin{array}{l}
\alpha_{0}=\text { Mittelwert }=\frac{\alpha_{0}+(-1)+\beta_{0}}{3} \\
\alpha_{0}=\frac{\alpha_{0}+\beta_{0}-1}{3} \\
3 \alpha_{0}=\alpha_{0}+\beta_{0}-1 \\
2 \alpha_{0}=\beta_{0}-1 \\
\alpha_{0}=\frac{\beta_{0}-1}{2}
\end{array}
\)
Das bedeutet, dass \( \alpha_{0} \) vom Wert von \( \beta_{0} \) abhängt.
  ─   user4e8d42 04.07.2023 um 14:42

Nein, das stimmt so leider nicht. Lies nochmal genau nach, was bei dir in deinen Unterlagen steht. Bei $x_0=0$ hast du eine Sprungstelle. Jetzt ist die Funktion für $- \frac{\pi}{2} < x < 0$ gleich $-1$ und für $0 < x < \frac{\pi}{2}$ gleich $1$. Du must den Mittelwert aus diesen beiden Funktionswerten bilden links und rechts von dieser Sprungstelle. Sprich du musst hier das Mittel aus diesen beiden werten nehmen, i.e. $\frac{-1+1}{2}=0$ und daraus folgt, dass $\beta_0=0$ ist. Wiederhole diesen Prozess für $\alpha_i$ mit $i=0,1$.
Du musst nicht den Mittelwert um "alle" Sprungstellen bilden, sondern nur um die Sprungstelle, die du gerade untersuchst.
  ─   crystalmath 04.07.2023 um 14:53

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Okay, passt das jetzt so?
1. Punkt \( x=-\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{0} \) für \( x=-\frac{\pi}{2} \)
\(
\alpha_{0}=\frac{0+(-1)}{2}=-\frac{1}{2}
\)
2. Punkt \( x=0 \) :
Der Mittelwert zwischen den Funktionswerten links und rechts von \( x=0 \) ist:
\(
\beta_{0}=\frac{(-1)+1}{2}=0
\)
3. Punkt \( x=\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{1} \) für \( x=\frac{\pi}{2} \)
\(
\alpha_{1}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}
\)
Daraus folgt folgende Definition der Funktion \( f(x) \) an den Punkten \( x= \) \( -\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \), damit die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergiert:
\(
\begin{aligned}
f\left(-\frac{\pi}{2}\right) & =-\frac{1}{2} \\
f(0) & =0 \\
f\left(\frac{\pi}{2}\right) & =\frac{1}{2}
\end{aligned}
\)
  ─   user4e8d42 04.07.2023 um 15:09

Ja. Das passt! Sehr gut.   ─   crystalmath 04.07.2023 um 15:16

Danke, danke für deine Hilfe.
Zu b) Kann man sagen, dass die Fourrierreihe nicht gleichmäßig konvergiert, weil sie an den Stellen -π/2 und
π/2 Sprungstellen hat und somit unstetig ist? Reicht das aus als Lösung?
  ─   user4e8d42 04.07.2023 um 15:23

Jein, ich würde noch etwas erwähnen, wie "Falls die Fourierreihe gleichmäßig konvergiert, muss die Grenzfunktion stetig sein".   ─   crystalmath 04.07.2023 um 15:28

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Okay, also: Zusammenfassend können wir dann doch sagen, dass die Grenzfunktion, zu der die Partialsummen der Fourierreihe konvergieren würden, eine stetige Funktion sein müsste, während \( f \) nicht stetig ist an den Punkten \( x=-\frac{\pi}{2} \) und \( x=\frac{\pi}{2} \). Daher konvergiert die Fourierreihe von \( f \) nicht gleichmäßig gegen \( f \) auf \( \mathbb{R} \).   ─   user4e8d42 04.07.2023 um 15:54

Genau, so ist es.   ─   crystalmath 04.07.2023 um 18:40

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Danke dir nochmal für die Hilfe und Zeit, die du für mich genommen hast.   ─   user4e8d42 04.07.2023 um 20:08

Bitte, gern geschehen.   ─   crystalmath 05.07.2023 um 16:02

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