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Zu Punkt a): Was weißt du über die Konvergenz der Fourierreihe von einer Funktion $f$ an Unstetigkeitsstellen? Tipp: Es hat was mit dem arithmetischen Mittel $\frac{a+b}{2}$ zu tun
Zu Punkt b) Nehmen wir mal an, die Partialsummen der Fourierreihe, welche alle steitgen Funktionen sind, konvergiert gleichmäßig auf ganz $\mathbb{R}$. Welche Eigenschaft muss dann die Grenzfunktion erfüllen, die $f$ nicht hat?
Zu Punkt c) Gebe mir doch mal deine Definition von Fourierkoeffizienten und setze in das Integral ein. Vereinfache ein wenig und sag mir doch mal, was dabei rauskommt.
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crystalmath
Punkte: 332
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Nein, das stimmt so leider nicht. Lies nochmal genau nach, was bei dir in deinen Unterlagen steht. Bei $x_0=0$ hast du eine Sprungstelle. Jetzt ist die Funktion für $- \frac{\pi}{2} < x < 0$ gleich $-1$ und für $0 < x < \frac{\pi}{2}$ gleich $1$. Du must den Mittelwert aus diesen beiden Funktionswerten bilden links und rechts von dieser Sprungstelle. Sprich du musst hier das Mittel aus diesen beiden werten nehmen, i.e. $\frac{-1+1}{2}=0$ und daraus folgt, dass $\beta_0=0$ ist. Wiederhole diesen Prozess für $\alpha_i$ mit $i=0,1$.
Du musst nicht den Mittelwert um "alle" Sprungstellen bilden, sondern nur um die Sprungstelle, die du gerade untersuchst. ─ crystalmath 04.07.2023 um 14:53
Du musst nicht den Mittelwert um "alle" Sprungstellen bilden, sondern nur um die Sprungstelle, die du gerade untersuchst. ─ crystalmath 04.07.2023 um 14:53
Okay, passt das jetzt so?
1. Punkt \( x=-\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{0} \) für \( x=-\frac{\pi}{2} \)
\(
\alpha_{0}=\frac{0+(-1)}{2}=-\frac{1}{2}
\)
2. Punkt \( x=0 \) :
Der Mittelwert zwischen den Funktionswerten links und rechts von \( x=0 \) ist:
\(
\beta_{0}=\frac{(-1)+1}{2}=0
\)
3. Punkt \( x=\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{1} \) für \( x=\frac{\pi}{2} \)
\(
\alpha_{1}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}
\)
Daraus folgt folgende Definition der Funktion \( f(x) \) an den Punkten \( x= \) \( -\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \), damit die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergiert:
\(
\begin{aligned}
f\left(-\frac{\pi}{2}\right) & =-\frac{1}{2} \\
f(0) & =0 \\
f\left(\frac{\pi}{2}\right) & =\frac{1}{2}
\end{aligned}
\) ─ user4e8d42 04.07.2023 um 15:09
1. Punkt \( x=-\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{0} \) für \( x=-\frac{\pi}{2} \)
\(
\alpha_{0}=\frac{0+(-1)}{2}=-\frac{1}{2}
\)
2. Punkt \( x=0 \) :
Der Mittelwert zwischen den Funktionswerten links und rechts von \( x=0 \) ist:
\(
\beta_{0}=\frac{(-1)+1}{2}=0
\)
3. Punkt \( x=\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{1} \) für \( x=\frac{\pi}{2} \)
\(
\alpha_{1}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}
\)
Daraus folgt folgende Definition der Funktion \( f(x) \) an den Punkten \( x= \) \( -\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \), damit die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergiert:
\(
\begin{aligned}
f\left(-\frac{\pi}{2}\right) & =-\frac{1}{2} \\
f(0) & =0 \\
f\left(\frac{\pi}{2}\right) & =\frac{1}{2}
\end{aligned}
\) ─ user4e8d42 04.07.2023 um 15:09
Ja. Das passt! Sehr gut.
─
crystalmath
04.07.2023 um 15:16
Danke, danke für deine Hilfe.
Zu b) Kann man sagen, dass die Fourrierreihe nicht gleichmäßig konvergiert, weil sie an den Stellen -π/2 und
π/2 Sprungstellen hat und somit unstetig ist? Reicht das aus als Lösung?
─ user4e8d42 04.07.2023 um 15:23
Zu b) Kann man sagen, dass die Fourrierreihe nicht gleichmäßig konvergiert, weil sie an den Stellen -π/2 und
π/2 Sprungstellen hat und somit unstetig ist? Reicht das aus als Lösung?
─ user4e8d42 04.07.2023 um 15:23
Jein, ich würde noch etwas erwähnen, wie "Falls die Fourierreihe gleichmäßig konvergiert, muss die Grenzfunktion stetig sein".
─
crystalmath
04.07.2023 um 15:28
Okay, also: Zusammenfassend können wir dann doch sagen, dass die Grenzfunktion, zu der die Partialsummen der Fourierreihe konvergieren würden, eine stetige Funktion sein müsste, während \( f \) nicht stetig ist an den Punkten \( x=-\frac{\pi}{2} \) und \( x=\frac{\pi}{2} \). Daher konvergiert die Fourierreihe von \( f \) nicht gleichmäßig gegen \( f \) auf \( \mathbb{R} \).
─
user4e8d42
04.07.2023 um 15:54
Genau, so ist es.
─
crystalmath
04.07.2023 um 18:40
Danke dir nochmal für die Hilfe und Zeit, die du für mich genommen hast.
─
user4e8d42
04.07.2023 um 20:08
Bitte, gern geschehen.
─
crystalmath
05.07.2023 um 16:02
Der Mittelwert von \( \alpha_{0},-1 \) und \( \beta_{0} \) ist:
Mittelwert \( =\frac{\alpha_{0}+(-1)+\beta_{0}}{3} \)
Um die Konvergenz der Fourier-Reihe zu gewährleisten, muss \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right), f(0) \) und \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \) gleich diesem Mittelwert sein:
\(
\begin{array}{l}
\alpha_{0}=\text { Mittelwert }=\frac{\alpha_{0}+(-1)+\beta_{0}}{3} \\
\alpha_{0}=\frac{\alpha_{0}+\beta_{0}-1}{3} \\
3 \alpha_{0}=\alpha_{0}+\beta_{0}-1 \\
2 \alpha_{0}=\beta_{0}-1 \\
\alpha_{0}=\frac{\beta_{0}-1}{2}
\end{array}
\)
Das bedeutet, dass \( \alpha_{0} \) vom Wert von \( \beta_{0} \) abhängt. ─ user4e8d42 04.07.2023 um 14:42