Cantor-Schröder-Bernstein

Aufrufe: 921     Aktiv: 14.12.2021 um 19:38
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Wir betrachten die Mengen
X = {(x, y) ∈ R × R | |x| + |y| ≤ 1}
Y = {(x, y) ∈ R × R | |x| ≤ 1 und |y| ≤ 1}.

Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Cantor-Schröder-Bernstein, dass |X| = |Y|.
Weisen Sie hierbei für die von Ihnen angegebenen Abbildungen jeweils nach, dass diese injektiv sind und in den angegebenen Bildbereich abbilden.

Hilfe, wie mache ich das?!
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1 Antwort
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Du musst eine injektive Abbildung von \(X \to Y\) und von \(Y\to X\) finden. Weißt du, was das ist?
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Student, Punkte: 10.87K

 
Ja schon, nur wie finde ich die?   ─   leoniem 13.12.2021 um 17:10
Identität!   ─   mathejean 14.12.2021 um 08:21
Wie hilft mir die Identität da weiter? Wie führen mich X→X und Y→Y zum Satzes von Cantor-Schröder-Bernstein?   ─   ridwanhalliday 14.12.2021 um 10:44
Oder X—>Y und Y—>X
Dann habe ich ja
\(f:X\rightarrow Y,\; (x,y)\mapsto (x,y)\)\(g:Y\rightarrow X,\; (x,y)\mapsto (x/2,y/2)\).

Und wie muss ich dann weiter vorgehen?   ─   leoniem 14.12.2021 um 17:00
Mit Identität meine ich die Identitätsabbildung \(X \to Y, x\mapsto x\)   ─   mathejean 14.12.2021 um 18:34
Wenn \(f:X\rightarrow Y\) injektiv ist, dann ist symbolisch \(|X|\leq |Y|\).Ist ferner \(g:Y\rightarrow X\) ebenfalls injektiv, so ist symbolisch \(|Y|\leq |X|\).Gemäß C-S-B darf man daraus auf \(|X|=|Y|\) schließen.

Reicht das so?   ─   leoniem 14.12.2021 um 19:34

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