Cantor-Schröder-Bernstein

Aufrufe: 298     Aktiv: 14.12.2021 um 19:38

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Wir betrachten die Mengen
X = {(x, y) ∈ R × R | |x| + |y| ≤ 1}
Y = {(x, y) ∈ R × R | |x| ≤ 1 und |y| ≤ 1}.

Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Cantor-Schröder-Bernstein, dass |X| = |Y|.
Weisen Sie hierbei für die von Ihnen angegebenen Abbildungen jeweils nach, dass diese injektiv sind und in den angegebenen Bildbereich abbilden.

Hilfe, wie mache ich das?!
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Du musst eine injektive Abbildung von \(X \to Y\) und von \(Y\to X\) finden. Weißt du, was das ist?
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Student, Punkte: 6.02K

 

Ja schon, nur wie finde ich die?   ─   leoniem 13.12.2021 um 17:10

Von X nach Y probier mal die einfachste aller Abbildungen.   ─   mikn 13.12.2021 um 17:52

Identität!   ─   mathejean 14.12.2021 um 08:21

Wie hilft mir die Identität da weiter? Wie führen mich X→X und Y→Y zum Satzes von Cantor-Schröder-Bernstein?   ─   ridwanhalliday 14.12.2021 um 10:44

Oder X—>Y und Y—>X
Dann habe ich ja
\(f:X\rightarrow Y,\; (x,y)\mapsto (x,y)\)\(g:Y\rightarrow X,\; (x,y)\mapsto (x/2,y/2)\).

Und wie muss ich dann weiter vorgehen?
  ─   leoniem 14.12.2021 um 17:00

Mit Identität meine ich die Identitätsabbildung \(X \to Y, x\mapsto x\)   ─   mathejean 14.12.2021 um 18:34

Deine Abbildungen sind gut. Du musst jetzt nachweisen, dass sie die Vor. von CSB erfüllen, d.h. dass sie dorthin abbilden wohin Du behauptest und dass sie injektiv sind.   ─   mikn 14.12.2021 um 19:28

Wenn \(f:X\rightarrow Y\) injektiv ist, dann ist symbolisch \(|X|\leq |Y|\).Ist ferner \(g:Y\rightarrow X\) ebenfalls injektiv, so ist symbolisch \(|Y|\leq |X|\).Gemäß C-S-B darf man daraus auf \(|X|=|Y|\) schließen.

Reicht das so?
  ─   leoniem 14.12.2021 um 19:34

Nein. Das ist das Ende des Beweises. Was Du VORHER noch zeigen musst, hab ich ja eben geschrieben,. Und ganz oben hast Du gesagt, Du weißt, was injektiv ist. Wo ist jetzt das Problem? Schlag die Def. von injektiv notfalls nochmal nach.   ─   mikn 14.12.2021 um 19:36

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