Krümmungskriterium eine "Wenn, dann..." Aussage

Aufrufe: 377     Aktiv: 20.10.2022 um 17:52

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Liebes Forum,

m.E. ist das Krümmungkriterium eine Wenn, dann - Aussage:

Wenn f''(x)>0 --> Graph von f is linksgekrümmt
Wenn f''(x)<0 --> Graph von f ist rechtsgekrümmt

Die Rückrichtung gilt m.E. nichts, da z.B. der Graph der Funktion f(x)=x^4 linksgekürmmt auf gesamt R ist, obwohl nicht auf gesamt R f''(x)>0 gilt. Dazu passt, dass f' mit f'(x)=4x^3 streng monoton steigend auf gesamt R ist, obwohl an genau einer Stelle gilt f''(x)=0.

Könnte man das Kriterium (theoretisch) wie folgt zu einer "genau dann wenn" - Aussage machen:

Der Graph von f ist g.d. linksgekrümmt, wenn gilt: f''(x) ist größer gleich null, wobei f''(x)=0 auf keinem echten Teilintervall gelten darf (also immer nur an einer Stelle in einer belibig kleinen Umgebung)

Die Formulierung für die Rechtskrümmung ist äquivalent.

Passt das aus eurer Sicht so?

Danke und beste Grüße
Handfeger0
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Wenn man das so genau betrachtet, kommt es darauf an, was man unter "linksgekrümmt" versteht. Für mich ist das ein anschaulicher Begriff, der nicht formal definiert ist (kann anderswo anders gesehen werden).
Für mich ist auch ein Geradenstück (Graph von $f(x)=a\,x+b$, also mit $f''(x)=0$) formal sowohl links- als auch rechtsgekrümmt. Daher ist für mich $f''(x)\ge 0$ auf $[a,b]\iff $ der Graph von $f$ ist linksgekrümmt.
Wenn man das Geradenstück als weder links- noch rechtsgekrümmt ansieht, dann ist Deine Äquivalenzversion die richtige (d.h. $f''(x)\ge 0$ auf $[a,b]$ und $f''(x)=0$ nur in isolierten Stellen $\iff$ der Graph von $f$ ist linksgekrümmt.

Ok, die meisten Quellen (nicht alle) sehen Linkskrümmung in steigender Steigung definitionsgemäß begründet, und meinen damit aber "streng monoton steigende Steigung". Damit ist Deine Frage analog zu der, wie strenge Monotonie mit $f'$ zusammenhängt. Hier gilt ja auch: $f'(x)>0$ auf $[a,b] \implies f$ streng monoton steigend. Aber nicht umgekehrt. Da würde man sagen:
$f'(x)\ge 0$ auf $[a,b]$ und $f'(x)=0$ nur in isolierten Stellen $\iff f$ streng monoton steigend.

Wenn Du noch weiterdenken magst: Das ganze gilt nur für überall differenzierbare Funktionen. Man könnte aber auch Streckenzüge als linksgekrümmt ansehen, obwohl sie fast überall $f''=0$ haben...
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