Wenn man das so genau betrachtet, kommt es darauf an, was man unter "linksgekrümmt" versteht. Für mich ist das ein anschaulicher Begriff, der nicht formal definiert ist (kann anderswo anders gesehen werden).
Für mich ist auch ein Geradenstück (Graph von $f(x)=a\,x+b$, also mit $f''(x)=0$) formal sowohl links- als auch rechtsgekrümmt. Daher ist für mich $f''(x)\ge 0$ auf $[a,b]\iff $ der Graph von $f$ ist linksgekrümmt.
Wenn man das Geradenstück als weder links- noch rechtsgekrümmt ansieht, dann ist Deine Äquivalenzversion die richtige (d.h. $f''(x)\ge 0$ auf $[a,b]$ und $f''(x)=0$ nur in isolierten Stellen $\iff$ der Graph von $f$ ist linksgekrümmt.

Ok, die meisten Quellen (nicht alle) sehen Linkskrümmung in steigender Steigung definitionsgemäß begründet, und meinen damit aber "streng monoton steigende Steigung". Damit ist Deine Frage analog zu der, wie strenge Monotonie mit $f'$ zusammenhängt. Hier gilt ja auch: $f'(x)>0$ auf $[a,b] \implies f$ streng monoton steigend. Aber nicht umgekehrt. Da würde man sagen:
$f'(x)\ge 0$ auf $[a,b]$ und $f'(x)=0$ nur in isolierten Stellen $\iff f$ streng monoton steigend.

Wenn Du noch weiterdenken magst: Das ganze gilt nur für überall differenzierbare Funktionen. Man könnte aber auch Streckenzüge als linksgekrümmt ansehen, obwohl sie fast überall $f''=0$ haben...