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Hallo,
ich bin mir nicht 100% sicher, da ich mich nur kurz mit der Maßtheorie auseinander gesetzt habe, aber die $\sigma$-Additivität muss auch für eine Vereinigung von unendlich vielen Mengen gelten und genau das ist denke ich der Knackpunkt. Wenn wir unendlich viele disjunkte $E_i$ vereinigen, erhalten wir (auch wenn die $E_i$ selbst endlich sind) eine unendlich große Menge. Also ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty $$
Nun wissen wir aber, dass die Summe
$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6 $$
ergibt. Damit ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty \neq \frac {\pi^2} 6 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$$
Ich denke der Rest den du beschrieben hast ist richtig, deshalb steht auf deinen hochgeladenen Bildern auch, dass die Abbildung additiv ist. Sie ist eben nur nicht $\sigma$-additiv (countable aditivity)
Was meinst du dazu?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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ich bin mir nicht 100% sicher, da ich mich nur kurz mit der Maßtheorie auseinander gesetzt habe, aber die $\sigma$-Additivität muss auch für eine Vereinigung von unendlich vielen Mengen gelten und genau das ist denke ich der Knackpunkt. Wenn wir unendlich viele disjunkte $E_i$ vereinigen, erhalten wir (auch wenn die $E_i$ selbst endlich sind) eine unendlich große Menge. Also ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty $$
Nun wissen wir aber, dass die Summe
$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6 $$
ergibt. Damit ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty \neq \frac {\pi^2} 6 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$$
Ich denke der Rest den du beschrieben hast ist richtig, deshalb steht auf deinen hochgeladenen Bildern auch, dass die Abbildung additiv ist. Sie ist eben nur nicht $\sigma$-additiv (countable aditivity)
Was meinst du dazu?
Grüße Christian ─ christian_strack 29.09.2021 um 10:57