Ist die Funktion ein Maß?

Aufrufe: 78     Aktiv: 30.09.2021 um 08:35

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Hallo, kann mir jemand erklären, warum das Beispiel 5 im unteren Bild kein Maß ist? Ich hab versucht selbst zu überprüfen ob die Eigenschaften erfüllt sind, für mich sind sie erfüllt, da muss irgendwo ein Denkfehler sein :/



Wäre das vom Prinzip überhaupt richtig wie ich es überprüft habe? Bei 3) ist für mich die Summe ob ich über die Vereinigung summiere, oder über jede Menge einzeln das gleiche, da die E_n  alle disjunkt sind. 
Danke
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Hallo,

ich bin mir nicht 100% sicher, da ich mich nur kurz mit der Maßtheorie auseinander gesetzt habe, aber die $\sigma$-Additivität muss auch für eine Vereinigung von unendlich vielen Mengen gelten und genau das ist denke ich der Knackpunkt. Wenn wir unendlich viele disjunkte $E_i$ vereinigen, erhalten wir (auch wenn die $E_i$ selbst endlich sind) eine unendlich große Menge. Also ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty $$
Nun wissen wir aber, dass die Summe
$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6 $$
ergibt. Damit ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty \neq \frac {\pi^2} 6 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$$

Ich denke der Rest den du beschrieben hast ist richtig, deshalb steht auf deinen hochgeladenen Bildern auch, dass die Abbildung additiv ist. Sie ist eben nur nicht $\sigma$-additiv (countable aditivity)

Was meinst du dazu?

Grüße Christian
  ─   christian_strack 29.09.2021 um 10:57

Ich glaube du hast Recht, der Fehler ist bei mir bei Punkt 2. Ich hab angenommen, dass wenn \(\cup_{n} E_n\)unendlich viele Elemente hat, dass dann mindestens ein \(E_i\) unendlich ist. Aber ich kann ja haben \(E_1\) ={1} u.s.w dann ist die Vereinigung die natürlichen Zahlen, also unendlich viele Elemente, aber die Summe ist dann π²/6, was du geschrieben hast.   ─   h1tm4n 29.09.2021 um 14:44

Ja ich denke das wird es sein :)
Soll ich eine Antwort schreiben, damit die Frage geschlossen werden kann oder sollen wir sie noch etwas offen lassen, falls jemand drüber gucken will?
  ─   christian_strack 29.09.2021 um 15:58

Also für mich ist diese Frage und das Beispiel damit abgeschlossen. Wenn du deinen Kommentar als Antwort schreibst werde ich es bestätigen.   ─   h1tm4n 29.09.2021 um 16:27
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Hallo,
 
ich bin mir nicht 100% sicher, da ich mich nur kurz mit der Maßtheorie auseinander gesetzt habe, aber die $\sigma$-Additivität muss auch für eine Vereinigung von unendlich vielen Mengen gelten und genau das ist denke ich der Knackpunkt. Wenn wir unendlich viele disjunkte $E_i$ vereinigen, erhalten wir (auch wenn die $E_i$ selbst endlich sind) eine unendlich große Menge. Also ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty $$
Nun wissen wir aber, dass die Summe 
$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6 $$
ergibt. Damit ist
$$ \varphi\left( \bigcup\limits_n^\infty E_n \right) = \infty \neq \frac {\pi^2} 6 =  \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$$
 
Ich denke der Rest den du beschrieben hast ist richtig, deshalb steht auf deinen hochgeladenen Bildern auch, dass die Abbildung additiv ist. Sie ist eben nur nicht $\sigma$-additiv (countable aditivity)
 
Was meinst du dazu?
 
Grüße Christian
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