Komplexe Wegintegrale berechnen

Aufrufe: 968     Aktiv: 21.10.2019 um 00:17
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Guten Tag :)

Ich hätte zu folgender Aufgabe ein paar Fragen:

 

 

Meine Ideen:

 

Es gilt \( \int_{\gamma} f(z)dz = \int_{\gamma1} f(z) dz + \int_{\gamma2} f(z) dz \)

bzw. 

\(\int_{\gamma} f(z) dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma' (t) dt\)

Weiter gilt:

\( \gamma (t) = z_1 + t(z_2 - z_1 )\), wobei \( z_1 , z_2 \in \mathbb{C} \).

Es handelt sich um ein Dreieck, welches genau eimal umrundet werden soll.

Also habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:

\(\gamma_1 (t) = -1 + t(1+1)  = -1 + 2t \)

\(\gamma_2 (t) = 1 + t(1-2i) = 1 + t - 2it \)

\(\gamma_3 (t) = t + 2i(1-t) \)

Und nun kommt das Problem, bei dem ich mir nicht sicher bin. Wie sind die Grenzen des Integrals zu setzen? $

Ich würde folgende Rechnung machen : 

\(\int_a^b \gamma_1 (t) \cdot \gamma_1 ' (t) dt + \int_b^c \gamma_2 (t) \cdot \gamma_2 ' (t) dt + \int_c^a \gamma_3 (t) \cdot \gamma_3 ' (t) dt \)

Wäre das so weit korrekt?

Edit: Sorry ich habe da noch paar Notizen vergessen : Verlangt ist ja nur nie Parametrisierung für den ersten Teil. Die Frage nach der Richtigkeit bezieht sich eigentlich nur auf die drei Teilfunktionen für die einzelnen Teilstrecken.

Wenn das korrekt wäre, dann könnte ich ja einfach noch die restlichen Integrale, welche verlangt sind berechnen

Vielen dank für Tipps

LG

Wizz

 

Meine Lösung (GRÜNES GLEICHHEITSZEICHEN):

 

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Student, Punkte: 282

 
sollte dein \( \gamma_2(t) \) nicht eher \( \gamma_2(t)=1+t(2i−1) \) sein? \( t \) würde ich wie bei gewöhnlichen Kurvenintegralen halt so laufen lassen, dass die \( gamma(t) \) deinen Start- und Endpunkt haben. Also einfach \( t\in[0;1] \)
  ─   gardylulz 16.10.2019 um 16:56

Vielen Dank für den Tipp. Ja das ist definitiv sinnvoller für das Rechnen \(t \in [0;1]\) zu nehmen. Du hast völlig recht für das\(\gamma_{2}(t)\). Da habe ich wohl die Werte verwechselt.
   ─   wizzlah 16.10.2019 um 17:11
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Hallo,

müsste nicht auch mit \( z_1 = 2i \) und \( z_2 = -1 \) für \( \gamma_3(t) \):

$$ \gamma_3(t) = 2i + t(-1-2i) = 2i - t -2it = -t + 2i(1-t) $$

sein

Grüße Christian

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Absolut! Danke für den Hinweis :-)   ─   wizzlah 19.10.2019 um 11:35

Ich habe meine Lösung mal hinzugefügt. Könnte mal jemand drüberschauen ob das einigermassen stimmt, denn irgendwie macht das für mich keinen Sinn. Müsste es aufgrund einer geschlossenen Kurve nicht so sein, dass für das ganze Wegintegral zusammen der Wert 0 herauskommen müsste?In den Tipps stand, dass ich nur das Wegintegral \( \int_\gamma \bar{z} dz \) berechnen muss und folglich für die anderen eine Begründung ausreicht. Demzufolge bin ich mir fast noch mehr sicher, dass der Wert 0 ergeben muss aber ich seh gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.
   ─   wizzlah 19.10.2019 um 11:57
Habs jetzt nochmals durchgerechnet und habe meine Fehler gefunden :D.
Pausen zahlen sich aus.
LG   ─   wizzlah 19.10.2019 um 20:08
Freut mich zu hören :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 21.10.2019 um 00:17

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