Die Herleitung für das ganze geht folgendermaßen:

Gesucht ist

\(\sum\limits_{k=0}^nq^k=?\)

Zuerst multiplizierst du mit \(1-q\)

Das ganze kannst du ausmultiplizieren.

Du erhälst

\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-q\sum\limits_{k=0}^nq^k\)

Es gilt

\(q\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k\)

(Wenn du das nicht sofort siehst schreib dir mal die einzelnen Summanden auf)

Eingesetzt in unsere obere Rechnung:

\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k\)

Hier siehst du: Du ziehst fast das selbe wieder ab. Du musst dir nur überlegen was am Ende noch darsteht

Die erste Summe ist

\(\sum\limits_{k=0}^nq^k=1+q+q^2+q^3+\dots+q^n\)

Die zweite Summe ist

\(\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k=q+q^2+q^3+\dots+q^n+q^{n+1}\)

Du siehst: Die Summen unterscheiden sich nur um den ersten und den letzten Summanden. Es fallen also alle Summanden dazwischen raus. Du erhälst

\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k=1-q^{n+1}\)

Lassen wir für die Übersciht das in der Mitte weg haben wir

\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=1-q^{n+1}\)

Jetzt teilst du final mit \(1-q\), sodass du wieder deine Summe dort stehen hast:

\(\sum\limits_{k=0}^nq^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Hier auch das passende Lied: Geometrische Reihe