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Hallo, 

die Bernoulli-Verteilung hat folgende momenterzeugende Funktion: 
( = LÖSUNG) 

Ich habe die zwei Dinge gegeben:

-Definition der momenterzeugenden Funktion lautet: 
Für eine reellwertige Zufallsvariable X ist  die momenterzeugende Funktion.

-Satz der momenterzeugenden Funktion und algebraischen Momente:
"Falls  in einer Umgebung von t = 0 endlich ist, so ist für alle k(natürliche Zahlen) die k-te Ableitung von  an der Stelle t = 0 gleich dem k-ten algebraischen Moment, d.h. es gilt "


Sei p ∈ 0,  1 und sei X eine Bernoulli p -verteilte Zufallsvariable. Dann ist die momenterzeugende Funktion von X für :


Meine Frage:
Laut der Definition muss ich E[exp(t*X)] berechnen, aber wie berechne ich das? Ich sehe zwar den Rechenweg, aber habe keine Ahnung woher das alles kommt. Die exp(t * 0) kommen ja durch einsetzen in E[exp(tX)], ist meine Vermutung, wobei ich dann nicht verstehe, woher der Rest kommt. 

Vielen Dank jetzt schon mal für die Hilfe.
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1 Antwort
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Für eine diskret Verteilte Zufallsvariable \( Y \) mit Werten \( x_1, \dots, x_n \) gilt ja die Formel

\( \mathbb{E}[Y] = x_1 \cdot \mathbb{P}[Y=x_1] + \dots + x_n \cdot \mathbb{P}[Y = x_n] \)

Das kannst du hier benutzen.

Betrachte \( Y = \exp(tX) \). Wenn \( X \) die Werte \( 0 \) und \( 1 \) annimmt, welche Werte nimmt dann \( Y \) an? Wie sieht also die Formel für den Erwartungswert aus?
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Student, Punkte: 6.83K

 

Verstehe ich ehrlich gesagt nicht. Wieso wird 0 eingesetzt? Das heißt das "exp(t*0)" fungiert hier als x1 und exp(t*1) als x2? Aber wieso wird einmal X =0 und beim nächsten Term X=1 gesetzt? Und wieso kann das nicht exp(0*t)*p + exp(1*t)*(1–p) sein, woher soll ich wissen welcher term mit p multipliziert werden muss und welcher mit der Gegenwahrscheinlichkeit?   ─   warrior 28.07.2022 um 16:42

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Schau dir bitte an, wie die Bernoulli-Verteilung definiert ist. Das sollte deine Fragen beantworten.   ─   cauchy 28.07.2022 um 19:46

Danke für den Tipp, hatte ich bereits gemacht habe allerdings was überlesen, eine Frage ist noch offen, wieso ist X=0 und X=1, in der definition steht für k=0 ist es 1-p und für k=1 ist es p, aber k ist ja nicht X   ─   warrior 28.07.2022 um 20:41

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Allgemein schreibt man $P(X=k)$.   ─   cauchy 28.07.2022 um 20:54

Ohh jetzt macht alles Sinn, danke   ─   warrior 28.07.2022 um 21:34

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