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Hallo, ich sitze schon echt lange an dieser Aufgabe und muss sie morgen abgeben: Ist die im Titel beschriebene Teilmenge C([a,b],R) des Vektorraumes der beschränkten Funktionen B([a,b],R), versehen mit der durch die Supremumsnorm induzierten Metrik offen? Entscheiden und begründen Sie.

Ich weiss, dass sie abgeschlossen ist, da eine stetige Funktionenfolge, die gegen eine beschränkte Funktion konvergiert, gleichmässig konvergiert und daher die Grenzwertfunktion stetig ist, d.h. die Menge ist Folgenabgeschlossen und daher abgeschlossen.
Aber die Abgeschlossenheit schliesst ja nicht die Offenheit aus. Wie soll ich zeigen/herausfinden ob das Komplement von C([a,b],R) abgeschlossen ist oder ob "jeder Punkt ein innerer Punkt" ist? Ich kann das nicht auf den Begriff der Funktionen anwenden...
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Student, Punkte: 16

 

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Dein Argument zu Abgeschlossenheit ist nur richtig, wenn Du mit Konvergenz die Konvergenz im Sinne der Supremumsnorm meinst.

Zeige mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass \(C([a,b],\mathbb{R})\) in \(B([a,b],\mathbb{R})\) nicht offen ist. Nimm z.B. die Nullfunktion und approximiere sie gleichmäßig durch unstetige Funktionen. Nimm ganz einfache Stufenfunktionen.

Hilft das?
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