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Dein Argument zu Abgeschlossenheit ist nur richtig, wenn Du mit Konvergenz die Konvergenz im Sinne der Supremumsnorm meinst.
Zeige mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass \(C([a,b],\mathbb{R})\) in \(B([a,b],\mathbb{R})\) nicht offen ist. Nimm z.B. die Nullfunktion und approximiere sie gleichmäßig durch unstetige Funktionen. Nimm ganz einfache Stufenfunktionen.
Hilft das?
Zeige mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass \(C([a,b],\mathbb{R})\) in \(B([a,b],\mathbb{R})\) nicht offen ist. Nimm z.B. die Nullfunktion und approximiere sie gleichmäßig durch unstetige Funktionen. Nimm ganz einfache Stufenfunktionen.
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slanack
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