Wenn 0,999... = 1 ist, was ist dann noch der Unterschied zwischen dem offenen Intervall (0 ; 1) und dem halb offenen (0 ; 1] ?

Erste Frage Aufrufe: 750     Aktiv: 25.11.2020 um 22:58
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Da 1/3 = 0,333.... 

Gilt 3 * 1/3 = 3 * 0,333...

Also 1 = 0,999...

Dann dürfte es doch aber keinen Unterschied mehr geben, ob das Intervall bis 0,999... oder bis einschließlich 1 geht?

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Formal ist mit dem Intervall (0,1) gemeint. x \(\in\) IR wobei gilt 0 < x < 1. Also die 0 und die 1 "können nicht angenommen/gewählt werden". Außerdem gilt natürlich 1 \(\neq\)0,9999999... Deswegen

liegt auch ein großer Unterschied zwischen dem Intervall (0,1) und (0,1]. Bei (0,1) wird nie 1 nicht angenommen, bei (0,1] aber sehr wohl.

Hoffe das klärt die Frage.

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 
Ergänzung:
(0,1) bedeutet 0 < x < 1
(0,1] bedeutet 0 < x \(\leq\) 1   ─   kallemann 25.11.2020 um 21:04
Aber es gilt wohl, dass 0,999... = 1. Auch wenn ich das selbst nicht glauben mag, zeigt es ja der Beweis.   ─   nexalotte 25.11.2020 um 21:04
Nein du verwechselst etwas:
\(\frac{1}{3}\) = 0,3333.. (also 0,333 Periode)
Bei deinem Beispiel ist es allerdings etwas anderes.
0,999 = \(\frac{999}{1000}\) \(\neq \frac{1000}{1000} = 1\) Also gilt 0,999 \(\neq\) 1
Das kannst du beliebig weit ausführen, also 0,99999... = \(\frac{99999...}{100000...}\) \(\neq \frac{100000...}{100000...} = 1\) Also gilt 0,9999... \(\neq\) 1   ─   kallemann 25.11.2020 um 21:11
Das ist die Frage, auch anhand von anonym's Antwort. Ich bin davon ausgegangen, dass nicht die Periode gemeint ist. Deswegen auch meine Wortwahl in Zeile 2 bei meinem 2. Kommentar.   ─   kallemann 25.11.2020 um 21:24

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Zunächst sollte man vielleicht erwähnen, dass es die Zahl \( 0,999... \) überhaupt gar nicht geben muss. Für gewöhnlich werden nur Dezimalzahlen betrachtet, deren Nachkommastellen-Folge nicht stationär mit Wert \(9\) wird. Nach der üblichen Definition gibt es die Zahl \( 0,999... \) also überhaupt nicht. Und damit ist dann auch die Frage mit dem Intervall hinfällig.

Wenn man die \( 0,999... \) aber als Dezimalzahl zulässt, dann ist sie einfach nur eine andere Darstellung der \(1\). Insbesondere ist dann \( 0,999... \) also nicht kleiner als \( 1 \), sondern genau \( 1 \). Und deshalb liegt \( 0,999... \) auch nicht im offenen Intervall \( (0,1) \).

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Student, Punkte: 7.13K

 
Wieso gilt 0,9999... = 1? Habe ich etwas verpasst? Wo wird das definiert? Wenn es diese Definition gibt, dann ziehe ich meine ANtwort natürlich zurück.   ─   kallemann 25.11.2020 um 21:23
Betrachte \( 0,999... \) als den Grenzwert der Partialsummenfolge \( s_n = \sum_{k=1}^n 9 \cdot 10^{-k} \). Dann erhält man \( 0,999...=1 \). Das folgt informell gesprochen daraus, dass \( 0,999... \) "so dicht" an \( 1 \) dranliegt, dass es schon gleich \( 1 \) sein muss.   ─   42 25.11.2020 um 21:27
Es ist eine unendliche Folge von Neunen gemeint. Das deuten die Punkte an.   ─   42 25.11.2020 um 21:28
Okay wenn mit den ... die unendliche Folge gemeint ist, dann ziehe ich meine Antwort selbstverständlich zurück. Danke für die Anmerkung(en).   ─   kallemann 25.11.2020 um 21:30
Das stimmt. Ich denke aber, dass man sich hier die Bedeutung der Punkte aus dem Kontext der Frage erschließen kann. Der Fragesteller geht ja von 1/3 = 0,333... aus. Damit kann dann eigentlich nur die Periode gemeint sein.   ─   42 25.11.2020 um 21:59
@mikn Nur aus Interesse: wann deuten Punkte in so einer Konstellation etwas anderes an? Finde da grad kein Beispiel ...:)   ─   derpi-te 25.11.2020 um 22:09
@derpi-te Du hast zwar die Frage an mikn gestellt, aber mir fällt da auch ein Beispiel ein. Wenn man von einer Zahl nur die ersten Nachkommastellen angeben will, aber andeuten möchte, dass es noch mehr Stellen gibt, dann macht man das häufig mit Punkten. Beispielsweise könnte man für \( 0,9999999 \) auch \( 0,999... \) schreiben. Vermutlich war genau das der Grund für die Verwirrung.   ─   42 25.11.2020 um 22:19

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Ich finde folgendes Konzept eigentlich sehr schön, um zu zeigen das 0,9999.... (Peroide!) = 1 ist: 

zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen a und b gibt es immer eine rationale  Zahl q, die dazwischen liegt. 
da zwischen 0,9999.... (Periode!) und 1 kein solches q existiert, sind es keine Verschiedene Zahlen.

... nur nochmal um die Verwirrung etwas rauszunehmen :)  

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