Ich soll durch dirkete Umformung zeigen dass:

\(x \choose k\) \(\stackrel{!}{=}\) \( x-1 \choose k-1\)+\( x-1 \choose k\)

Gegeben ist 

Eine Menge M mit einem assoziativen Produkt (a,b) \(\mapsto a\cdot b\) und \(1 \in\) M ist ein neutrales Element zu diesem Produkt. Dann wird für die Elemente \(a_0, a_1, a_2, ...\) der Menge M gesetzt:

\(\prod_{j=k}^m a_j:= 1\) für m < k,

\( \prod_{j=k}^m a_j = a_k \cdot \prod_{j=k+1}^m a_j\) für k \(\le\) m

Und zu beachten ist, wenn M\(\in \mathbb{R}\), dann gilt:

\( (\prod_{j=m}^k a_j)^{-1}=\prod_{j=m}^k (a_j)^{-1}\)

Der Binomialkoeffizient definiert für x\(\in \mathbb{R}\) und k \(\in \mathbb{R}\)

 \({0\choose k} := 1\), falls \(k=0\) und

\(\forall \text{ }k \in \mathbb{N}, k\neq 0\)

 \({x\choose k}:= \prod_{j=1}^k \frac{x-j+1}{j}\)

Mein Ansatz war folgender: 

Ich habe zunächst die o.g. Gleichung in Produktform geschrieben.

\(\prod_{j=1}^k \frac{x-j+1}{j}= \prod_{j=1}^{k-1}\frac{(x-1)-j+1}{j} + \prod_{j=1}^k \frac{(x-1)-j+1}{j}\)

danach habe ich versucht die Grenze \(k-1\) in das Produkt zu ziehen. Bin dabei aber nicht weitergekommen, weil ich nicht ganz kapiere, wie ich die Definitionen anwenden soll. 

Wäre sehr Dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich ab hier weiter vorgehen soll.