Hallo,
wir haben die Ungleichung
$$ (ax)^2 \geq b $$
gegeben. Dabei sind \( a,b \in \mathbb{R} \) Parameter. Wir sollen diese nun so anpassen, dass diese Ungleichung für jedes \( x \in \mathbb{R} \) gültig wird (allgemeingültig).
Nun gucken wir uns die Ungleichung an. \( a \) und \( x \) werden quadriert. Das bedeutet aber auch, das die linke Seite der Ungleichung niemals negativ wird. Nun setzen wir doch beispielsweise mal \( a =1 \) und \( b= -2 \). Wir erhalten:
$$ x^2 \geq -2 $$
Diese Ungleichung gilt nun für alle \( x \in \mathbb{R} \). Diese Aussage formulieren wir nun etwas allgemeiner.
Da die linke Seite niemals negativ wird, ist diese Aussage allgemeingültig, für \( a \in \mathbb{R} \) und \( b \in \mathbb{R}_{\leq 0} \).
Versuch mal den Rest. Ich gucke gerne nochmal drüber.
Edit: Das Bild zu meinem dritten Kommentar:
Grüße Christian

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$$ 0 \geq 0 $$
Das ist sogar allgemeingültig.
Ansonsten stimmt es :)
Was ist dann mit Punkt 2?
Grüße Christian ─ christian_strack 24.10.2019 um 11:23
Ja bei Punkt 2 stehe ich noch ein bisschen auf dem Schlauch. Das finde ich schwieriger als Punkt 1 und Punkt 3. Da brauche ich ja eine bestimmte Zahlenspanne oder? ─ Jacqueline 25.10.2019 um 09:59
Gucken wir uns nochmal ein Beispiel an. Wir setzen \( a = 1 \) und \( b = 1 \)
$$ x^2 \geq 1 $$
Für welche \( x \in \mathbb{R} \) ist diese Ungleichung nun lösbar?
Grüße Christian ─ christian_strack 25.10.2019 um 10:46
Komme ich der Lösung näher?
─ Jacqueline 30.10.2019 um 08:34
$$ f(x) = a^2 x^2 - b $$
Da \( a^2 \) stehts positiv ist, ist unsere Parabel nach oben geöffnet.
Die Ungleichung
$$ a^2 x^2 - b \geq 0 $$
beschreibt dann alle Werte oberhalb der \( x\)-Achse, die aber noch auf der Parbel liegen.
Ich habe oben in meine Antwort noch ein Bild eingefügt. Das schraffierte erfüllt die Ungleichung nicht(!!).
hätten wir jetzt beispielsweise ein negatives \( b \), so wäre der \( y\)-Achsenabschnitt oberhalb der \(x\)-Achse und somit wäre die komplette Parabel oberhalb der \( x-Achse \). Somit sind alle Werte der Parabel größer gleich Null (dies ist unser erster Fall gewesen).
Jetzt haben wir aber ein positives \( b \), also \( b> 0 \). Jede Parabel der Form
$$ a^2 x^2 - b $$
hat damit einen Abschnitt oberhalb der \( x\)-Achse und unterhalb. Ist somit also erüllbar, aber nicht allgemein gültig.
Bei Ungleichungen kannst du eine solche Überlegung immer zu rate ziehen, wenn du die Funktion einfach plotten kannst.
Um es nun zusammenzufassen. Der zweite Fall tritt ein, wenn
$$ a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \land b > 0 $$
gilt.
Grüße Christian ─ christian_strack 30.10.2019 um 12:24
Dann anbei mal mein Versuch zum 3. Spiegelstrich "unerfüllbar":
wir haben die Ungleichung
(ax)^2≥b
gegeben.
Dabei sind a,b ∈ R Parameter. Wir sollen diese nun so anpassen, dass diese Ungleichung für jedes x∈R unerfüllbar wird.
a und x ist ein Produkt, welches 0 wird, wenn einer der beiden Multiplikatoren 0 ist. Nun setzen wir für a=0 und b=5 ein.
Wir erhalten:
0≥5
Da die linke Seite somit immer 0 ergibt, ist die Aussage unerfüllbar für alle a ∈ R=0 und b ∈ R>=0.
─ Jacqueline 24.10.2019 um 10:30