Dreieck Formel verstehen (praktisches Problem)

Aufrufe: 149     Aktiv: 26.08.2021 um 18:46

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Moin,

mal ein etwas praktischeres Problem. Ich habe im Internet folgende Formel gefunden und würde gerne verstehen was dort passiert:
\[\frac{d}{2 \cdot \tan^{-1}(\frac{\pi \cdot \alpha}{360})}\]

Laut Beschreibung soll diese Formel den Abstand einer Kamera (repräsentiert durch ein Dreieck mit einem field of view, kurz fov, hier \(\alpha\)) zu einem Quader (längste Seite des Quaders = d) angeben.
Vielleicht für den einen oder anderen interessant, woher diese Formel stammt ( https://discourse.threejs.org/t/camera-zoom-to-fit-object/936/24 ).

Damit man sich vorstellen kann, wie so eine Kamera darstellbar ist, wobei das fov das \(\alpha\) von oben ist:

Bildquelle mit ein paar weiteren Formeln die vlt. hilfreich sind.

Vielleicht findet jemand eine Erklärung dazu, was genau in der obigen Formel oder einem Teil davon passiert.
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Überlegungen:
Tangens = Gegenkathete(violett) durch Ankathete(hier rot)
violette Strecke = d/2
grüne Strecke = d
rote Strecke gesucht, ich kürze es mit "ak" ab

tan(Winkel?)= (d/2)/ak    
Nach ak umgeformt ergibt sich ak=(d/2)/tan(Winkel?).
Den Bruch formt man um, indem man (d/2) mit 1/tan(Winkel?) multipliziert.
1/tan(Winkel?) = tan^(-1)(Winkel?)

Mit dem Winkel habe ich noch etwas Schwierigkeiten:
alpha ist der gelbe Winkel. Wir brauchen lediglich den halben Winkel, blau markiert.
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Vorsicht: $\frac{1}{\tan(\alpha)}\neq \tan^{-1}(\alpha)$, denn $\tan^{-1}(\alpha)$ ist der Arkustangens! Warum der Arkustangens in obiger Formel verwendet wird, ist mir allerdings auch unklar.   ─   cauchy 23.08.2021 um 22:10

Ja, tan^(-1) wird häufig als Umkehrfunktion zum tan benutzt um Winkel zu berechnen (Taschenrechner).
Aber hier ist vermutlich schon die Bruchschreibweise gemeint, vielleicht mathematisch korrekt mit Klammern geschrieben (tan(Winkel))^(-1)?
  ─   gamma02 24.08.2021 um 15:53

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Im Quellcode stand aber auch "atan".   ─   cauchy 24.08.2021 um 21:45

Den \(\tan^{-1}\) od. auch 'atan' im Quellcode verstehe ich auch nicht so ganz. Der Rest ist mir jtzt aber klar geworden.
@gamma02 So wie ich die Formel oben verstehe haben wir bereits nur \(\frac{\alpha}{2}\), da die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad ergibt und \(\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\alpha \cdot \pi}{360}\).
  ─   shadow 25.08.2021 um 13:28

Nachtrag zu "Winkel?": Es wird die Winkelgöße im Gradmaß auf die Winkelgröße im Bogenmaß umgerechnet. Das passt nicht zum Arkustangens (Defintions- bzw. Wertebereich).
Vermutlich ist der "atan" in der Formel ein Irrtum. der duch die falsche Schreibweise des Exponenten am Tangens (wie bei mir) und die damit verbundene falsche Umformung auf Arkustangens entstanden ist. Vielleicht sollte man beim Programmierer nachfragen?
  ─   gamma02 26.08.2021 um 15:15

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Den Programmierer zu fragen, ist Zeitverschwendung.

Gehen wir formal an die Sache ran:
$\frac{\alpha\pi}{360^°}$ ist doch ein Winkel im Bogenmaß. Es gibt aber überhaupt keinen Grund, diese Größe in die Funktion $\tan^{-1}$ einzusetzen. Es werden dort die Seiteverhältnisse des Dreiecks eingesetzt, um damit den Winkel im Bogenmaß zu bestimmen - nicht andersherum.

Meine Erklärung: Programmierfehler.
Warum es keiner merkt? Kleinwinkelnäherung!
Denn im Bogenmaß ist ja für kleine Winkel $\alpha\approx\tan(\alpha)\approx\tan^{-1}(\alpha)$.

Die Fotographen nehmen ihre Riesen-Zooms ja für kleine Objekte in großer Entfernung. Dementsprechend ist der Winkel so klein, dass die das alle nicht merken. Im Link zum Bild ist die Formel auch richtige...

Aber wehe, jemand ersetzt ein Mikroskop durch eine Zoom-Linse....

Also: Das Programm funtktioniert genausogut, wenn man das a weglässt.
  ─   joergwausw 26.08.2021 um 18:46

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