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Hallo Zusammen

Habe hier eine Aufgabe, zu welcher die Assistenten vergessen haben eine Lösung zu schreiben.
Trotzdem wäre ich froh, wenn sich das jemand anschauen kann, denn ich bin mir hier wirklich unsicher ob das so überhaupt erlaubt ist.

Die Aufgabe wäre folgende:

Seien A und B Teilmengen von Q. 
Sei \(A+B= (a+b: a_in_A_und_b_in_B)\)
Wir nehmen an, dass \(sup(A)\) und \(sup(B)\) existieren. Beweisen sie, dass \(sup(A+B)\) auch existiert und  

                                              \(sup(A+B)=sup(A)+sup(B)\)

Hier wäre mein Lösungsansatz:

 

Wäre wirklich froh um eine Antwort.

Vielen Dank.

 

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Student, Punkte: 1.95K

 
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1 Antwort
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Also der erste Teil ist richtig. Ich würde nur noch hinschreiben, dass \(\sup(A+B)\) existiert, weil es nach oben beschränkt ist.

 

Beim zweiten Teil darfst du deinen dritten Schritt meiner Auffassung nach nicht machen.

Du musst zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke von \((A+B)\) existiert als \(\sup(A)+\sup(B)\).

Sei \(C<\sup(A)+\sup(B)\) beliebig.

Zu zeigen: \(C\) ist keine obere Schranke von \(A+B\). Setze \(\varepsilon :=\sup(A)+\sup(B) -C\). Dann ist \(\varepsilon >0\) und damit auch \(\dfrac{\varepsilon}{2} >0\) erfüllt. Es sind also \(\sup(A)-\dfrac{\varepsilon}{2}\) bzw. \(\sup(B)-\frac{\varepsilon}{2}\) keine oberen Schranken von \(A\) bzw. \(B\). Da \(\sup(A)\) und \(\sup(B)\) laut Voraussetzung existieren, gibt es Elemente \(a\in A\) und \(b\in B\), so dass:

\(\sup(A)-\dfrac{\varepsilon}{2} <a\)       und        \(\sup(B)-\dfrac{\varepsilon}{2} <b\)      gelten.

Somit folgt schlussendlich:

\(C=\sup(A)+\sup(B)-\varepsilon =\left(\sup(A)-\dfrac{\varepsilon}{2}\right) +\left(\sup(B)-\dfrac{\varepsilon}{2}\right) <a+b \in A+B\)

Somit ist also \(C\) keine obere Schranke von \(A+B\) und es folgt die Behauptung.

 

Hoffe das hilft weiter.

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okei also ich sehe deinen Punkt, nun frage ich mich nur noch wieso ich meinen schritt nicht machen darf, denn wir befinden uns ja in einem geordneten Körper und dann würde die Rückrichtung von Schritt 3 nach Schritt 2 meines Erachtens auch gehen.   ─   karate 22.12.2020 um 07:53

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Du meinst die Monotonieeigenschaft geordneter Körper oder? Also Für alle \(x,y,z\in K\) aus einem geordnetem Körper \(K\) gilt:
\(xHierbei gilt keine Äquivalenz! Ich denke du kannst nicht folgen, dass \(a\leq \alpha-\dfrac{1}{n}\) und \(b\leq \beta-\dfrac{1}{n}\) erfüllt sind, nur weil \(a+b\leq \alpha -\dfrac{1}{n}+\beta-\dfrac{1}{n}\) gilt.
Es könnte auch der Fall sein, dass \(a\leq \alpha\) und \(b\leq \beta -\dfrac{2}{n}\) gelten. Also die Rückrichtung kannst du nicht notwendiger Weise annehmen. Theoretisch müsstest du für alle möglichen Fälle die du aus dem zweiten Schritt schlussfolgern kannst zeigen, dass es zu einem Widerspruch führt.
Es kann auch sein, dass ich mich irre und man es so beweisen kann. Analysis ist bei mir lange auch her. :D Aber es geht direkt ja auch so schön und doch recht schnell zu zeigen, so dass ich es dem Widerspruchsbeweis vorziehen würde.
Du wolltest ja nur nochmal eine Lösung dafür haben und die konnte ich dir hoffentlich gut darlegen. ;D
Vllt hat jemand in der Community hier eine andere Auffassung und belehrt mich eines besseren ^^
  ─   maqu 22.12.2020 um 10:20

ja deine Antwort macht Sinn vielen Dank.   ─   karate 22.12.2020 um 10:21

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Bitte immer gern :)   ─   maqu 22.12.2020 um 10:30

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