Ellipse Polarkoordinaten

Aufrufe: 98     Aktiv: 24.02.2022 um 14:50

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Hi!

Die Polarkoordinaten für eine Ellipse sind fast identisch zu den Polarkoordinaten für einen Kreis, mit dem Unterschied, dass die Koordinaten jemeils mit a,b 'gestreckt' sind. 

Was mir nicht klar ist: warum wird der Radius bei de Polarkoordinaten der Ellipse auf [0,1] beschränkt? 

Zwar ändert man die Länge der Seiten mit den Parmatern a und b, aber es wäre doch nicht falsch den Radius immer noch in (0, unendlich) definiert zu haben.... 

Und warum darf man r=0 bei der ellipse nehmen, wenn dies beim Kreis nicht erlaubt ist ? 

EDIT vom 24.02.2022 um 08:44:

Ellipsoid koordinaten : Mitschriften aus dem Tutorium

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Student, Punkte: 63

 
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1 Antwort
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Ich weiß nicht, was Du mit $r$ bei der Ellipse meinst. Eine Ellipse hat ja keinen Radius.
Die Polarkoordinaten sind nicht die vom Kreis, nur gestreckt. Dann würde ja $r\cdot a\cdot \cos \phi$ da stehen. Vielmehr ist das $r$ beim Kreis  ersetzt durch $a$ bzw. $b$. Dadurch, dass $a\neq b$ ist, entsteht eine Ellipse (die kein Kreis ist).
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Lehrer/Professor, Punkte: 23.98K

 

Dies wurde so in Tutorium definiert. Ich habe mal ein Bild davon hochgeladen. Hier geht es zwar um einen Ellipsoid, ich habe dieses aber auf einer Ellipse übertragen.   ─   alexandrakek 24.02.2022 um 08:47

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Ok. Bleiben wir bei der Ellipse: Die Koordinaten der Ellipse in Parameterform sind $(a\cos \phi, b\sin \phi)$. Das beschreibt die Ellipse, also die Linie. Das ist die übliche Definition. Wenn man über die Ellipsenfläche, also das Innere der Ellipse inkl. Rand, integrieren will, muss man ja nicht nur die Punkte auf dem Rand darstellen, sondern auch die aus dem Inneren. Die Punkte in der Ellipsenfläche haben dann die Koordinaten $(a\,r\,\cos \phi, b\,r\,\sin \phi)$ mit einem $r\in [0,1]$. Für ein Flächenintegral muss man daher über $\phi\in [0,2\pi]$ und $r\in[0,1]$ integrieren.
Im Tutorium ging es um das analoge in 3d, also Ellipsoidvolumen. Hierfür gilt das gleiche, nur mit einem weiteren Winkel.
Ein Ellipsoid ist eine Fläche, beim Volumenintegral wird aber über den Inhalt des Ellipsoids integriert, daher das zusätzliche $r$.
  ─   mikn 24.02.2022 um 12:38

Verstanden! Vielen Dank!
  ─   alexandrakek 24.02.2022 um 14:50

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