Schraffierte Fläche mit Integralen berechnen

Aufrufe: 225     Aktiv: 06.06.2022 um 12:43

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Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:


Ursprünglich habe ich hier versucht ohne Polarkoordinaten-Transformation diese Aufgabe zu lösen mithilfe der Fläche eines Halbkreises addiert mit der Fläche vom oberen Kreis von $-R$ bis $R$ zur x-Achse, dennoch konnte ich mich nur knapp der eigentlichen Fläche annähern (mein Ergebnis entsprach genau $2*R^2$, quasi war noch zusätzlich ein kleines Stück Fläche von den Schnittpunkten bis zum äußeren Rand der beiden Kreise doppelt mit drin). Ich wüsste auch hier nicht, wie ich diesen loswerde.. Die Alternative wäre hier mit Polarkoordinaten zu arbeiten, aber bis auf eine weitere Annäherung, indem ich den Winkel als Integralgrenze nehmen würde der von Schnittpunkt zu Schnittpunkt verläuft, sehe ich hier nicht.. Dieser Winkel bleibt mir ebenfalls unbekannt. Könnte mir hier jemand helfen?

EDIT vom 05.06.2022 um 23:06:

Hier ist meine bisherige Annäherungs-Rechnung:

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Student, Punkte: 60

 

Ich habe sie dir oben hinzugefügt.   ─   user8faafd 05.06.2022 um 23:07
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1 Antwort
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Ich verstehe Deine Rechnung nicht. Ich hab ganz normal gerechnet, Integral über obere Funktion - untere Funktion. Muss man bei den Schnittpunkten aufteilen. Ich komme auf $1.9131..\cdot R^2$. Insofern ist Deine Näherung nicht schlecht, aber in der Aufgabe sollte ja wohl exakt gerechnet werden.
Wenn Du es anders aufteilen willst, halbe Kreisfläche plus die zwei unteren Zipfel, und letztere aus Symmetrie spiegelst, kann man machen. Aber auch da muss man bei den Schnittpunkten aufteilen. Und die muss man halt erstmal berechnen. Ohne das kann es keinen exakten Wert für die Fläche geben.
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Lehrer/Professor, Punkte: 30.18K

 

Ich komme nun auf deine oben genannte Lösung mit dem letzteren Ansatz von dir (den ich auch teilweise hatte): $\frac{\pi*r^2}{2}+2*\int \limits_{-r}^{-\frac{\sqrt{3}}{2}*r}\sqrt{R^2-x^2}*dx+2*\int \limits_{-\frac{\sqrt{3}}{2}*r}^{0}R-\sqrt{R^2-x^2}*dx$. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich deinen ersten Weg verstanden habe: was genau meinst du mit obere und untere Funktion? Meinst du die beiden oberen Halbkreisbogenfunktionen? Wenn dem so ist, dann würdest du ja mit der Differenzfunktion integriert zwischen den beiden Schnittpunkten auf ein Großteil der Fläche bereits kommen. Es würde noch auf beiden Seiten ein kleiner Teil der Fläche fehlen. In Integralform würde ich dies so ausdrücken: $\int \limits_{-\frac{\sqrt{3}}{2}*R}^{\frac{\sqrt{3}}{2}*R}\sqrt{R^2-x^2}+R-\sqrt{R^2-x^2}*dx +4*\int \limits_{\frac{\sqrt{3}}{2}*R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}*dx$ (die Wurzeln kürzen sich raus), was auch zum oberen Ergebnis führt. Ich habe jetzt einmal in die Lösung reingeschaut und der Wert scheint auch so zu stimmen, wobei ich die Lösung selber nicht nachvollziehen kann, da sie basierend auf Polarkoordinaten fragwürdige Integralgrenzen besitzt..   ─   user8faafd 06.06.2022 um 02:53

Ja, genauso meinte ich das. Bei der Standardfrage "Fläche zwischen den Kurven" integriert man ja die Differenz. Hier ist nur die Komplikation, dass an den Randstücken der untere Halbkreis gar nichts ins Spiel kommt, weil der obere zurückgebogen ist. Naja, nicht gut erklärt von mir, aber Du verstehst, was ich meine.
Die untere Deiner beiden Formeln ist etwas einfacher, da der Integrand im ersten Integral ja nur $R$ ist. Noch ein LaTex-Tipp (schön, dass Du das benutzt, freut uns): der Malpunkt ist am besten als \cdot. In Deinen Formeln lässt man ihn aber am besten ganz weg, außer vielleicht bei 2 mal Integral bzw. 4 mal Integral.
  ─   mikn 06.06.2022 um 12:43

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