Kardinalität von Mengen

Aufrufe: 123     Aktiv: 29.09.2021 um 11:22

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X; Y und Z sind Mengen mit endlichen Kardinalitäten |X|; |Y |; |Z|.

(a) X^Y ,
(b) (X *Y )^Z,
(c) X / Y , wenn Y teilmenge von X?

Ich muss die Kardinalität folgender Mengen herausfinden, weiss aber nicht wie ich vorgehen muss. Könnte mir jemand Helfen?
Danke.
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Student, Punkte: 74

 
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Hallo,

ist dir denn klar, was für Mengen da vorliegen? Für bestimmte Kardinalitäten habt ihr bestimmt schon Formeln besprochen. Ansonten müsstest du hier ein paar Beweise mittels vollständiger Induktion führen. 
Aber gucken wir uns erstmal an, was für Mengen hier gegeben sind. Welche sind die klar, welche nicht?

Grüße Christian
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Die einzige Information die ich habe sind dass X,Y,Z Mengen sind mit endlichen Kardinalitäten ansonsten weiss ich nichts.   ─   par-fait 27.09.2021 um 10:48

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$X^Y$ beschreibt die Menge aller Abbildungen von $Y$ nach $X$.
$(X\times Y)^Z$ beschreibt die Menge aller Abbildungen von $Z$ ins kartesische Produkt $X \times Y$.
$X\backslash Y$ beschreibt die Menge $X$ ohne Elemente die in $Y$ liegen (Differenzenmenge).
  ─   christian_strack 27.09.2021 um 10:59

Dann muss ich mir das mit den Abbildungen nochmals anschauen..:)
  ─   par-fait 27.09.2021 um 11:00

Nehmen wir mal $X=\{1,2\}$ und $Y=\{3,4,5\}$.
Wie viele Abbildungen gibt es zwischen diesen beiden Mengen?
  ─   christian_strack 27.09.2021 um 11:13

2
Ich muss mich korrigieren: $X^Y$ beschreibt die Menge aller Abbildungen von $Y$ nach $X$, also alle Abbildungen
$$ f: Y \to X$$
Habe es in meinem Kommentar korrigiert.
  ─   christian_strack 27.09.2021 um 13:00

zu deinem Beispiel: Gibt es 6 Abbildungen? Weil wir können ja 1^3, 1^4, 1^5, 2^3, 2^4, 2^5; Wobei die ersten drei alle = 1

Oder habe ich da was falsch verstanden?
  ─   par-fait 28.09.2021 um 11:14

Ich bin mir unsicher, was du mit 1^3 usw sagen willst.
Eine Abbildung ist eine Zuordnung die jedem Element aus der Definitionsmenge genau einen Wert aus der Zielmenge zuordnet.
Wir haben
$$ f: Y \to X \Leftrightarrow f: \{3,4,5\} \to \{1,2\} $$
Nun wir jedem Element aus $Y$ ein Element aus $X$ zugeordnet. Es müssen dabei aber nicht alle Elemente aus $X$ angenommen werden. Es muss aber jeder Wert aus $Y$ eine Zuordnung erhalten.
Eine Abbildung wäre also beispielsweise $3 \mapsto 1$, $4 \mapsto 1$ und $5\mapsto 1$.
Also alle Elemente werden auf die 1 abgebildet.
Findest du alle Abbildung? Als Hinweis, es sind mehr als 6 :)
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 12:15

ah okay, Ich hab mal alle möglichen zuordnungen aufgezeichnet, und habe 8 verschiedene Abbildungen gefunden.
Stimmt das?
  ─   par-fait 28.09.2021 um 17:40

Ja genau.
Du hast nun eine 2-elementige Menge und eine 3-elementige Menge. Wie kann man aus einer 2 und einer 3 eine 8 bekommen mit hilfe der Grundrechenarten. Als Tipp, betrachte mal wie die Menge dargestellt wird.
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:02

2 hoch 3 =8   ─   par-fait 28.09.2021 um 19:35

Ja sehr gut. Also was ist unsere Vermutung?   ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:35

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Wenn$ |X|= n$ und $|Y| = m$ dann ist $|X^Y|=?$   ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:36

Könnte man also sagen, dass die card(x^y) = card(x)^(card(y) ??   ─   par-fait 28.09.2021 um 19:37

card(x^y) = n^m   ─   par-fait 28.09.2021 um 19:38

Ja genau. Jetzt ist die Frage ob du das noch beweisen musst.   ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:40

Es steht nur "Was sind die Kardinalitäten folgender Mengen:" , also gehe ich davon aus, dass ich nichts beweisen muss. Oder?   ─   par-fait 28.09.2021 um 19:41

Danke viel vielmals, dass du dir so viel Zeit genommen hast mir diese Aufgabe zu erklären. Das hat mir sehr geholfen. :)   ─   par-fait 28.09.2021 um 19:44

Hmm schwer zu sagen. In der Mathematik muss man seine Behauptung für gewöhnlich immer beweisen. Ich weiß nicht wie eure Vorlesung aufgebaut ist. Beweist ihr häufig sowas?
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:44

Sehr gerne :)   ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:44

Du könntest das ganze mit vollständiger Induktion zeigen.
IV: aus $|X|=m$ und $|Y|=n$ folgt $|X^Y| = m^n$.
IA: $|X|=m$ und $|Y|=1$.
Wieso haben wir hier nun genau $m^1=m$ Abbildungen?
IS: $n \to n+1$
$|X|=m$ und $|Y|=n+1$ und $|X^Y|=m^{n+1} = m^n \cdot m$.
Wie viele Abbildungen kommen dazu? Wieso kommen so viele dazu, wenn $Y$ ein Element mehr hat?

Ich bin mal eben einkaufen. Du kannst solange etwas daran knabbern :p
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 19:52

(Die Aufgabe gibt nur 3 Punkte, deshalb gehe ich davon aus das ein Beweis nicht nötig ist)
Aber es schadet ja nicht ;)
zum IS: für jedes x1, x2, ..., xm kommt ein element dazu (xi, y(n+1)) daraus folgt, dass m- elemente dazu kommen zu m^n, dann wäre das ja m^n + m (als kardinalität) aber wir brauchen ja eine multiplikation damit die Implikation stimmt, oder?
  ─   par-fait 28.09.2021 um 20:45

1
Das stimmt :D
Ja genau aber der Gedanke ist nicht verkehrt. Es ist sogar fast richtig, du hast nur einen kleinen Zusammenhang vergessen.
Wenn wir durch unsere Abbildung jedes Element bis auf das n+1-te zuordnen, haben wir $m^n$ Möglichkeiten. Dann ordnen wir das n+1-te Element dem ersten (eig ist eine Menge ja nicht geordnet) Element von $X$ zu. Das sind schon mal $m^n$ Möglichkeiten. Dann ordnen wir dem n+1-tem Element das zweite aus der Menge $X$ zu. Das sind dann wieder $m^n$ Möglichkeiten. Das ganze können wir wegen $|X|=m$, m-mal durchführen. Also insgesamt $m^n \cdot m = m^{n+1}$ Möglichkeiten. Denn es kommen für jedes der m Möglichkeiten die du aufzählst $m^n$ Möglichkeiten dazu.
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 21:30

Ok. Nun wollen wir wissen, welche Mächtigkeit $X \times Y$ hat. Wenn wir das wissen, können wir durch unsere jüngsten Erkenntnise sofort bestimmen wie die Mächtigkeit von $(X\times Y)^Z$ ist.
Weißt du wie die Menge $X \times Y$ aussieht?
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 21:31

Ja da bin ich Analog zu a) vorgegangen: Ich habe mal aufgeschrieben was das kartesische produkt bedeutet und dann -> x1 * card(y) + x2 *card(y) + x3 * card(y) ,... = card(y) * (x1 + x2 + x3 +.... ) und das wäre ja dann = card(y) * card(x)
Kann man diese Schlussfolgerung machen?
  ─   par-fait 28.09.2021 um 21:40

Ja sehr sehr gut :)
Mit $|X|=n$ und $|Y|=m$ ist \(|X \times Y| = m \cdot n\)
Was ist dann $|(X \times Y)^Z|$?

Und hast du eine Idee für $X \backslash Y$? Bedenke dabei, dass $Y$ Teilmenge von $X$ ist.
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 22:32

card((x*Y)^z) = (m*n)^card(z)

Meine intuition ist dass card(X\Y) = card(X) - card(Y) da ja alle elemente von Y auch in X enthalten sein müssen, ich weiss aber nicht wie ich das genau aufschreiben sollte damit die Schlussfolgerung klar wird.
  ─   par-fait 29.09.2021 um 10:18

Jap alles richtig :)
Die Schlussfolgerung wird so auf jeden Fall klar.
Würde es so schreiben.
Da $Y\subset X$ werden durch $X\backslash Y$ gerade alle Elemente aus $Y$ aus $X$ entfernt. Da $|X|=n$ und $|Y|=m$ ist dann $|X\backslash Y| = n-m$.
  ─   christian_strack 29.09.2021 um 10:29

Danke vielmals für deine Zeit 😊   ─   par-fait 29.09.2021 um 11:20

Sehr gerne :) Freut mich das ich helfen konnte.   ─   christian_strack 29.09.2021 um 11:22

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