Bahnen - Stabilisator (Was wird gezählt?)

Aufrufe: 89     Aktiv: 20.09.2021 um 20:34

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Hallo, 

ich weiß wie man Bahnen und Stabilisatoren bestimmt, das ist kein Problem. Meine Frage ist, was aber gezählt wird? Sind Bahnen nicht einfach die fixpunktfreien Perm. und Stabilisatoren die Anzahl der Fixpunkte? Oder wie kann man sich das vorstellen? 


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Punkte: 38

 

Meinst du eine Gruppenwirkung der symmetrischen Gruppe auf sich selbst?   ─   mathejean 20.09.2021 um 15:12

Ja zum Beispiel. Muss ja nicht immer die sym Gruppe sein oder ?   ─   einmaleins 20.09.2021 um 15:41

Was meinst du mit Zählen? Die Orbits (Bahnen) sind einfach nur die Äquivalenzklassen unter der zugrundeliegenden Gruppenwirkung. Die Isotropiegruppen (stabilizers) sind die Punkte, die invariant sind unter der Gruppenwirkung.   ─   zest 20.09.2021 um 16:42

Es gibt ja eine Bahnengleichung, die besagt, dass die Anzahl der Bahnen eines Elements * die Anzahl der Stabilisatoren des gleichen Elements = Anzahl der Elemente der Gruppe, auf die operiert wird.

Und meine Frage ist jetzt, was genau bspw. diese Anzahl der Stabilisatoren ist. Sind das nicht einfach alle Fixpunkte?
  ─   einmaleins 20.09.2021 um 17:40

Bei der Bahnengleichung geht es um die Mächtigkeit der Mengen und nicht um deren Anzahl.
Mächtigkeit der Bahn * Mächtigkeit des Stabilisators = Mächtigkeit der Gruppe.
In deiner Frage hast du gesagt, dass du weißt, wie man Bahnen und Stabilisatoren bestimmt. Dann solltest du also auch deren Mächtigkeit bestimmen können. Und damit sollte dann eigentlich alles klar sein, oder?
  ─   anonym83bed 20.09.2021 um 20:34
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